6.3.2 二项式系数的性质-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.2　二项式系数的性质 目标素养 课程目标 核心素养 1.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题. 2.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数. 1.数学抽象：二项式系数的性质 2.逻辑推理：运用函数的观点讨论二项式系数的单调性 3.数学运算：运用二项式性质解决问题 4.几何直观：运用函数图像讨论二项式系数的性质 概念梳理 1．对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。事实上，这一性质可直接由C＝C得到。直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴。 2．增减性与最大值 (1)当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减小。 (2)当n是偶数时，中间的一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn与Cn相等，且同时取得最大值。 3．各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1。 【概念辨析】 1.当n为偶数时，展开式有奇数项，正中间一项的二项式系数最大，即为；当n为奇数时，展开式有偶数项，中间两项的二项式系数同时最大，即为。 2.二项式系数的增减性源于以下认识：因为C＝＝＝C·，所以，当>1，即k<时，C>C；当<1，即k>时，C<C。 3.对于2n＝C＋C＋C＋…＋C，也可以从集合的角度解释。设A是含有n个元素的集合，求A的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集(即空集)有C个，含1个元素的子集有C个，含2个元素的子集有C个，…，含n个元素的子集有C个，故所有子集的个数为C＋C＋C＋…＋C＝2n。 微点大本 正误辨析 判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1. 二项展开式的各二项式系数的和为C＋C＋…＋C.(　×　) 【解析】错误，二项展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n. 2. 二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．(　×　) 【解析】错误，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，而项的系数和a，b的系数有关． 3. 二项展开式项的系数是先增后减的．(　×　) 【解析】错误，二项式系数是先增后减的，二项式项的系数和a，b的系数有关． 初试身手 1. 11的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第8项 C．第5,6项 D．第6,7项 【解析】由n＝11为奇数，得展开式中第6项和第7项的二项式系数相等，且最大。故选D。 2. 已知n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x4的系数为(　　) A．40 B．20 C．10 D．5 【解析】因为n的展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5。所以5的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(x2)5－kk＝Cx10－3k，令10－3k＝4，得k＝2，故展开式中x4的系数为C＝10。故选C。 3. 已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　) A．64 B．63 C．32 D．31 【解析】C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，所以n＝6，所以C＋C＋C＝32。故选C。 4. 若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________。 【解析】(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，得各项系数的和为4n，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5。 5. 已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________。 【解析】依题意可得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256。 题型讲解 探究（一）二项式系数性质的应用 【典例1】 （1）二项式n(a>0，b>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，求ab的值。 （2）若n的展开式中的第3项与第4项的二项式系数相等且都为最大，求展开式中的常数项。 【解析】（1）因为二项式n(a>0，b>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，故展开式共有11项，所以n＝10。由展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，可得C·a8·2＝3·C·a7·3，解得ab＝8。 （2）由题意可得C＝C，所以n＝5。故5的展开式的通项为Tr＋1＝C·x·r·x－＝r·C·x。令＝0，解得r＝3，故展开式中的常数项为3×C＝－。 【补充训练1】已知(a＋b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x－1)n展开式中x3的系数为