7.3 离散型随机变量的数字特征学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

21届学案 选择性必修第三册A 2022-2023学年 承德县一中学案 离散型随机变量的分布列 重点 理解离散型随机变量的分布列，期望，方差的概念。 难点 会求离散型随机变量的分布列，期望，方差。 考试要求 考试 · 题型 解答题 · 难度 中档 核心知识点一：离散型随机变量的分布列 （1）定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi（i＝1，2，…，n）的概率P（X＝xi）＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列。 （2）性质：①pi≥0（i＝1，2，…，n）；②。 核心知识点二：离散型随机变量的均值与方差 （1）均值 称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 （2）方差 称D（X）＝为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记为σ（X）。 核心知识点三：均值与方差的性质 （1）E（aX＋b）＝aE（X）＋b（a，b为实数）。 （2）D（aX＋b）＝a2D（X）（a，b为实数）。 特别的：分布列中各概率是非负数，且概率之和为1，用此性质解决有关参数的问题 （xi－E（X））2描述了xi（i＝1，2，3，…，n）相对于均值E（X）的偏离程度。而D（X）＝，为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度。 类型一：离散型随机变量的分布列的性质应用 例题1 记随机变量X的分布列。 （1）求实数a的值； （2）求； （3）求。 【思路分析】（1）列出离散型随机变量X的分布列，根据概率和为1，求出a；（2）根据互斥事件的概率加法公式进行计算。 【解析】（1）由可知 a+2a+3a+4a+5a=1，解得。 （2）由（1）可知， 所以。 （3）。 【总结提升】分布列性质的两个作用 （1）利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性。 （2）随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率。 类型二：求离散型随机变量ŋ=f（ξ）的分布列 例题2 已知随机变量ξ的分布列为 ξ -2 -1 0 1 2 3 P （1）求的分布列；（2）求的分布列。 【思路分析】根据题目中给出的随机变量ξ的分布列，分别求出和，并求出相应的概率。 【解析】（1）的分布列为 -1 0 1 P （2）的分布列为 0 1 4 9 P 【总结提升】 解决此类问题可依据题目中给出的条件，先分析随机变量的取值范围，再列出分布列，可以先画个草表，使的取值与ξ的取值及概率分布关系一目了然，以便顺利地写出的分布列。 类型三：求离散型随机变量的分布列 例题3 有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令。求： （1）所取各值的分布列； （2）随机变量的数学期望与方差。 【思路分析】写出X的全部可能取值，求出每个值的概率，最后列分布列，利用期望和方差的公式即可解决问题。 【解析】 （1）随机变量的可能取值有0，1，2，4，“”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为； “”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为； “”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为； “”是指两次取的卡片上都标有2，其概率为。 则的分布列为 0 1 2 4 P （2）， 。 【总结提升】求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 （1）理解X的意义，写出X的全部可能取值； （2）求X取每个值的概率； （3）写出X的分布列； （4）由均值的定义求E（X）； （5）由方差的定义求D（X）。 常见易错问题剖析 2015年12月27日下午全国人大常委会于表决通过了人口与计划生育法修正案，于2016年1月1日起正式放开二胎政策，一对夫妇可以生两个孩子。如果两个孩子中男孩的个数为随机变量X，求X的期望。 【错解】两个孩子总共有三种情况两个男孩，一男一女，两个女孩，故X的所有可能取值为0，1，2，故。 X的分布列为 0 1 2 P 。 【错因分析】两个孩子应该有四种情况{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，事件总个数数错了，导致分布列出错。 【正解】两个孩子应该有四种情况{男，男}，{男，女}，{女，