7.2.2 离散型随机变量学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

21届学案 选择性必修第三册A 2022-2023学年 承德县一中学案 离散型随机变量 重点 1. 理解随机变量及离散型随机变量的意义； 2. 了解随机变量与函数的区别和联系； 3. 会用离散型随机变量描述随机现象。 难点 会用离散型随机变量描述随机现象。 考试要求 考试 · 题型 解答题 · 难度 中档题 核心知识点一：随机变量概念和分类 1. 随机变量 （1）定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量。随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围。 （2）表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示。 2. 随机变量分类 （1）离散型随机变量 对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。 （2）连续型随机变量 随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 特别地：随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的。 核心知识点二：用随机变量表示随机试验的结果 1. 关键点： 解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果。 2. 注意点： 解答过程中不要漏掉某些试验结果。 核心知识点三：用随机变量表示事件 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X=a，X≤a，X>b等都表示事件，且 （1）当a≠b时，事件X=a与X=b互斥； （2）事件X≤a与X>a相互对立，因此P（X≤a）+P（X>a）=1 注意：在用随机变量表示事件及事件的概率时，有时可不写出样本空间。 核心知识点四：随机变量之间的关系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数，且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量。 类型一：离散型随机变量的判定 例题1 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由。 （1）从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数； （2）某林场中的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度。 【思路分析】离散型随机变量判定的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出。 【解析】 （1）是离散型随机变量. 因为只要取出一张，便有一个号码，所以被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义。 （2）不是离散型随机变量，因为林场中树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值，无法一一列举，所以不是离散型随机变量。 【总结提升】 离散型随机变量判定的关键及方法 1. 关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出。 2. 具体方法 （1）明确随机试验的所有可能结果； （2）将随机试验的试验结果数量化； （3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是。 类型二：求随机变量的可能取值 例题2 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。 （1）一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X。 （2）一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X。 【思路分析】（1）因为白球的个数总共有3个，所以从中任取5个球，至多有3个白球，所以X可能取0，1，2，3。（2）列举出从5个球中任取3个球的所有可能情况，发现最大号码可能为3，4，5。 【解析】（1）X＝0表示取5个球全是红球； X＝1表示取1个白球，4个红球； X＝2表示取2个白球，3个红球； X＝3表示取3个白球，2个红球。 （2）X＝3表示取出的球编号为1，2，3。 X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4。 X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5。 【总结提升】用随机变量表示随机试验的结果时务必不重不漏，准确列举，方可以为后面学习分布列打好基础。 常见易错问题剖析 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果。 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|。 【错解】因为x，y可能取的值为1，2，3， 所以0≤|x－2|≤1，0≤|x－y|≤2，所以0≤X≤3， 所以X可能的取值为0，1，2，3， 用（x，y）表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量X取各值的意义为： X＝1表示（1，1），（2，1）。 X＝2表示（1，2），（3，2）。 X＝3表示（1，3）。 【错因分析