7.2.1 独立性与条件概率之间的关系学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

21届学案 选择性必修第三册A 2022-2023学年 承德县一中学案 事件的相互独立性 重点 1. 了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件。 2. 理解独立性与条件概率之间的关系。 难点 能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题。 考试要求 考试 · 题型 选择 解答题 · 难度 中档 核心知识点一：相互独立事件定义 定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，即，这样的两个事件叫做相互独立事件。 性质：若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立。 核心知识点二：相互独立事件同时发生的概率公式 对于事件A和事件B，用表示事件A、B同时发生。 （1）若与是相互独立事件，则； （2）若事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积， 即：。 特别地： ①使用的前提是A、B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积。 ②两个事件、相互独立事件的充要条件是。 类型一：判断相互独立事件 例题1 容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球。 （1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？ （2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？ 【思路分析】从相互独立事件的定义入手，借助相互独立事件的概率公式进行判断。 【解析】（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为。可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件。 （2）由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件。 【总结提升】 判断两事件是否相互独立的方法有： （1）通过计算P（B|A）=P（B）可以判断两个事件相互独立： （2）通过验证P（AB）=P（A）P（B）也可以判断两个事件相互独立。 类型二：相互独立事件同时发生的概率 例题2 要制造一种机器零件，甲机床的废品率为0. 04，乙机床的废品率是0. 05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求： （1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中恰有一件废品的概率； （3）其中至多有一件废品的概率； （4）其中没有废品的概率； （5）其中全是废品的概率。 【思路分析】依题意记事件A为“从甲机床生产的产品中抽得的一件是废品”，事件B为“从乙机床生产的产品中抽得的一件是废品”，两事件对应的概率为P（A）=0. 04，P（B）=0. 05，则此题可解。显然，这两台机床的生产应当看作是相互独立的。 【解析】记事件A为“从甲机床生产的产品中抽得的一件是废品”，事件B为“从乙机床生产的产品中抽得的一件是废品”。 则P（A）=0. 04，P（）=0. 96，P（B）=0. 05，P（）=0. 95。 由题意可知，A与B，与B，A与，与都是相互独立的。 （1）“至少有一件废品”为事件A+B， 则； （2）“恰有一件废品”为事件， 则 =0. 96×0. 05+0. 04×0. 95=0. 048+0. 038=0. 086； （3）方法一：“至多有一件废品”为事件， 则 =0. 04×0. 95+0. 96×0. 05+0. 96×0. 95=0. 998； 方法二：“至多有一件废品”的对立事件为“两件都是废品”，即事件AB， 则； （4）“其中没有废品”就是“两件都是正品”，即事件， 则； （5）“其中全是废品”为事件AB， 则P（AB）=P（A）P（B）=0. 04×0. 05=0. 002。 【总结提升】 （1）审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等，应学会在求复杂事件的概率时对事件等价拆分来求解。 （2）求相互独立事件同时发生的概率的方法有：①利用相互独立事件的概率乘法公式；②正面计算较繁琐时，可以从对立面入手求解。 常见易错问题剖析 甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲，乙射中的概率均为，求人中至少有人射中目标的概率； 【错解】两人中至少有人射中目标的概率为。 【错因分析】两人中至少有人射中目标需要严格讨论，甲、乙是有一人命中，还是两个人都命中，一人命中还需要讨论到底谁命中，不能混为一谈。 【正解】 因为事件“2人中至少有1人射中”，包括事件“2人都射中”和事件“2人中只有1人射中”，即事件，，， 又因为事件，，两两互斥， 故所求概率为： 。 【总结提升】 利用相互独