第2课时 解直角三角形-2022-2023学年九年级数学下册同步考点知识清单＋例题讲解＋课后练习（人教版）

第2课时——解直角三角形（答案卷） 知识点一：直角三角形的有关关系： 在中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为。 1. 直角三角形的两锐角关系： 直角三角形的两锐角 互余 。即∠A＋∠B＝ 90° 。 2. 直角三角形的三边关系： 直角三角形三边存在 勾股定理 关系，即 。 3. 直角三角形的边角关系： 直角三角形的锐角三角函数即表示直角三角形的边角关系。 ，则；，即；，即. 利用直角三角形的相关关系求解直角三角形未知的角度与边长即为解直角三角形。 知识点二：解直角三角形 1. 已知两边解直角三角形： （1） 已知斜边和直角边：①＝ ；②＝ ，从而求得∠A； ③∠B＝ 90°－∠A 。 （2） 已知两直角边和：① ；② ，从而求得∠A； ③∠B＝90°－∠A。 2. 已知一锐角和一边解直角三角形： （1） 已知斜边和锐角A：①∠B＝ 90°－∠A ；② 或 ； ③ 或 。 （2） 已知直角边和锐角A：①∠B＝ 90°－∠A ；② ；③ 或 。 （3）利用三角函数值解直角三角形。 【类型一：解直角三角形】 1．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（　　） A．a•tan α B．a•cot α C． D． 【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【解答】解：如图： 在Rt△ABC中，AC＝＝． 故选：D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，，则DE为（　　） A． B．10 C． D．15 【分析】由cosA＝＝，AC＝16，求出AB长，再由△ADE∽△ACB，即可求出DE的长． 【解答】解：∵cosA＝＝，AC＝16， ∴AB＝20， ∵△ACB是直角三角形， ∴BC＝＝＝12， ∵D是AB的中点， ∴AD＝AB＝10， ∵∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠EDA＝90°， ∴△ADE∽△ACB， ∴DE：BC＝AD：AC， ∴DE：12＝10：16， ∴DE＝． 故选：A． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cos B＝，则AC的长为（　　） A．6 B．2 C．3 D．9 【分析】先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝， ∴BC＝AB•cosB＝9×＝6， ∴AC＝＝＝3， 故选：C． 4．如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝4，tan C＝2，则边AB的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．6 【分析】利用题目信息得到AD的长度，然后根据AD和BD的长度判断出△ABD的形状，然后根据特殊直角三角形的三边关系得到AB的长度． 【解答】解：由题意可知， tanC＝＝2， ∵CD＝2， ∴AD＝4， ∴AD＝BD＝4， ∵AD⊥BD， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴AD＝＝4． 故选：B． 5．Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）如果∠A＝60°，AB＝12，求BC的长； （2）如果BC＝8，，求AB的长． 【分析】（1）根据正弦函数的定义和60度角的正弦值求解即可； （2）根据余弦函数的定义和勾股定理求解即可． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴， ∵∠A＝60°，AB＝12， ∴， ∴； （2）解：Rt△ABC中，∠C＝90°，， ∴， 则可设AC＝4x，AB＝5x， ∵BC＝8， ∴82+16x2＝25x2， 解得：，（负值舍去）， ∴． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．若AD＝10，，求AC的长和tan B的值． 【分析】在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而利用勾股定理求出CD的长，然后利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DB＝10，从而求出BC的长，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△ACD中，AD＝10，， ∴AC＝AD•sin∠ADC＝10×＝8， ∴CD＝＝＝6， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB＝10， ∴BC＝CD+DB＝16， 在Rt△ABC中，tanB＝＝＝， ∴AC的长为8，tanB的值为． 7．如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cos B＝，AB＝13，BC＝21． （1）求AC的长； （2）求∠BAC的正弦值． 【分析】（1）由∠B的余弦求出BD长，得到DC长，由勾股定理即可解决问题； （2）过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出