第3课时 相似三角形的应用与位似-2022-2023学年九年级数学下册同步考点知识清单＋例题讲解＋课后练习（人教版）

第3课时——相似三角形的应用与位似（答案卷） 知识点一：相似三角形的应用： 1. 利用影长测量物体的高度： ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的 性质 即相 似三角形的对应边的比 相等 和“在同一时刻物高与影长的比 相等 ”的原理解决。 ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的 长度。 2. 利用相似测量河的宽度（测量距离）： ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图， 三点应在一条直线上，必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。 ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的 宽度。 3. 借助标杆或直尺测量物体的高度： 利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视 点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。 【类型一：利用相似求高度】 1．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度． 【分析】过点A作AN⊥EF于点N，交CD于M，根据题意得出△ACM∽△AEN，进而得出EN的长，即可得出答案． 【解答】解：过点A作AN⊥EF于点N，交CD于M， 由题意可得：AM＝BC＝4米，NM＝FD＝40米，CM＝3﹣1.6＝1.4（米）， ∵CM∥EN， ∴△ACM∽△AEN， ∴＝， ∴＝， 解得：EN＝15.4， 则EF＝15.4+1.6＝17（米）， 答：旗杆EF的高度为17米． 2．为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物AB的高度，小军同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小军的眼睛距离地面的高度ED的长约为1.75m，BC和CD的长分别为40m和1m，求建筑物AB的高度．（说明：由物理知识，可知∠ECF＝∠ACF） 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出＝，进而得出AB的长． 【解答】解：由题意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 故△ABC∽△EDC， 则＝， ∵小军的眼睛距离地面的高度ED的长约为1.75m，BC和CD的长分别为40m和1m， ∴＝， 解得：AB＝70， 答：这座建筑物的高度为70m． 3．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计） 【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米，∠ACH＝∠CAH＝45°，进而得出AH＝CH＝BD，那么AB＝AH+BH＝BD+0.5，再证明△EFG∽△ABG，根据相似三角形对应边成比例求出BD＝17.5米，进而求出AB即可． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H， 则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米， ∴∠DCH＝90°， ∵∠ACD＝135°， ∴∠ACH＝45°， 在Rt△ACH中，∠CAH＝45°， ∴AH＝CH＝BD， ∴AB＝AH+BH＝BD+0.5． ∵EF⊥FB，AB⊥FB， ∴∠EFG＝∠ABG＝90°． 由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△ABG， ∴， 即， 解得：BD＝17.5， ∴AB＝17.5+0.5＝18（m）． ∴这棵古树的高AB为18m． 【类型二：利用相似求高度】 4．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5