湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学（人教版）选修1-1教案：第一章 常用逻辑用语（打包10份）

§3．1.1 变化率问题 §3．1.2 导数的概念 【学情分析】： 本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次： 1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义. 2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵. 学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。 【教学目标】： 知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义. 【教学重点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义. 【教学难点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义. 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 (1)引入变化率和瞬时速度 1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 2. 确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法： 要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度. 当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度了. 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是： 位移为Δs=s(t0+Δt)－s(t0)(Δt称时间增量) 为导数概念的引入做铺垫 平均速度 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度. 现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0. 当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度 所以当Δt→0时，平均速度的极限就是瞬时速度 (2)例题讲解 例1、物体自由落体的运动方程s=s(t)= gt2，其中位移单位m，时间单位s，g=9.8 m/s2. 求t=3这一时段的速度. 解：取一小段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs= g(3+Δt)2－ g·32= (6+Δt)Δt，平均速度 g(6+Δt) 瞬时速度为： 由匀变速直线运动的速度公式得v=v0+at=gt=g·3=3g=29.4 m/s 例2、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)， (1)当t=2，Δt=0.01时，求 . (2)当t=2，Δt=0.001时，求 . (3)求质点M在t=2时的瞬时速度. 让学生进一步认识瞬时速度，为引入导数的概念做好铺垫. 分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量， 即平均速度，当Δt越小，求出的 越接近某时刻的速度. 解：∵ =4t+2Δt[来源:Zxxk.Com] ∴(1)当t=2，Δt=0.01时， =4×2+2×0.01=8.02 cm/s (2)当t=2，Δt=0.001时， =4×2+2×0.001=8.002 cm/s (3)v= (4t+2Δt)=4t=4×2=8 cm/s (3) 导数的概念 设函数 在 处附近有定义，当自变量在 处有增量 时，则函数 相应地有增量 ，如果 时， 与 的比 （也叫函数的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 在 处的导数，记作 ，即 注意：(1)函数应在点 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中， 趋近于0可正、可负、但不为0，而 可能为0 (3) 是函数 对自变量 在 范围内的平均变化率. 要让学生理解导数概念 例3、求y=x2在点x=1处的导数. 分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求 ，最后求 EMBED Equation.3 . 解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2， =2+Δx[来源:学科网ZXXK] ∴ EMBED Equation.3 = (2+Δx)=2. ∴y′|x=1=2. 注意：(Δx)2括号别忘了写. 学生自学教材P75 例1 (4)课堂小结 (1)理解函数的概念。 （2）求函数 的导数的一般方法： ①求函数的改变量 . ②求平均变化率 . ③取极限，得导数 ＝ EMBED Equation.3 . 补充题目：1.一直线运动的物体，从时间 到 时，物体的位移为 ，那么 为（ ）[来源:Zxxk.Com] Ａ．从时间 到 时，物体的平均速度； Ｂ．在 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ