9.1 向量概念-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

9．1　向量概念 学业标准 素养目标 1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点) 1．从物理背景、几何背景入手引入向量的概念，提升数学抽象核心素养． 2．通过向量的几何表示、相等向量和平行向量的学习，提升直观想象、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　向量的概念与表示 　在物理中，位移与距离是同一个概念吗？现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，怎样正确区分这些量呢？ [提示]　位移与距离不是同一个概念；这些量中有些只有大小，没有方向，但有些既有大小又有方向，因此应该从大小和方向两个方面对这些量进行区分． 　甲由A地向正北方向走了1 km，然后向正东方向又走了1 km，到达B地，则甲走的路程和位移各为多少？ [提示]　路程2 km，位移是向北偏东45°方向移动了 km. ◎结论形成 1．向量：既有__大小__ ，又有__方向__的量叫作向量． 2．数量：只有__大小__，没有__方向__的量称为数量． 导学2　向量的有关概念和表示方法 1．向量的有关概念 (1)向量的模(长度)：向量的大小称为向量的__长度或模__，记作　||　. (2)零向量：长度为__0__的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于__1个单位长度__的向量． 2．向量的表示 导学3　共线向量、相等向量和相反向量 　满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ [提示]　长度相等方向相同的向量叫作相等向量．单位向量不一定是相等向量． 　 如图，△ABC中，D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则与，是是什么关系？ [提示]　与是平行向量(共线向量)，与是相等向量． ◎结论形成 共线向量、相等向量与相反向量 名称 定义 表示 备注 平行向量 (共线向量) 方向__相同或相反__的非零向量，又叫作共线向量 向量a与b平行，记作　a∥b　 零向量与任一向量__平行或共线__ 相等向量 长度__相等__且方向__相同__的向量 向量a与b相等，记作　a＝b　 两向量只有相等或不等，不能__比较大小__ 相反向量 与向量a长度__相等__且方向__相反__的向量 记作　－a　 (1)零向量的相反向量为__零向量__ (2)对于任意一个向量a，－(－a)＝　a　 导学4　向量的夹角 　正△ABC中，∠ABC等于多少？向量与的夹角是多少？ [提示]　∠ABC＝，而与的夹角是. ◎结论形成 定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则　θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)　称为向量a与b的夹角 范围 　[0°，180°]　 特殊 θ＝__0°__ a与b__同向__ θ＝　180°　 a与b__反向__ θ＝　90°　 a与b垂直，记作　a⊥b　，规定0可与任一向量垂直 [基础自测] 1. (多选)下列说法正确的是(　　) A．零向量没有方向 B．零向量只与零向量相等 C．零向量的模为0 D．零向量与任何向量都共线 解析　零向量的方向是任意的． 答案　BCD 2．如图⊙O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量　 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案　C 3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 解析　终点是N而不是M. 答案　D 4．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，以A为始点，可以写出______________个不同的向量．向量与的夹角等于________． 解析　由图可知，以A为始点的向量有，，，，，，共有7个． ∵＝，∴向量与的夹角等于. 答案　7　 题型一　向量的概念 　(多选)下列说法错误的有(　　) A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量都是相等的 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 [解析]　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确． [答案]　BCD [规律方法] (1)判断一个量是否为向量的两个关键条件： ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题： ①零向量的方向是任意的； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． [触类旁通] 1．给出下列四个命题： ①若两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b； ③若＝，则四边形ABCD是平行四边形；