第七章 复数（章末小结）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

章末小结 必修第二册 第七章《复数》 1 知识框架 知识网络 本章学习目标 (1)通过方程的解，认识复数引入的表现，理解复数的代数表示； (2)理解复数的分类，掌握复数相等的充要条件； (3)了解复平面的概念,理解复数的几何意义； (4)掌握复数的模、共轭复数的概念，会求复数的模和一个复数的共轭复数； (5)能熟练进行复数代数形式的加减乘除运算，了解加减法的几何意义； 知识梳理——1.数系扩充 自然数集N 整数集Z 引入负数(负号) 引入分数(分数线) 有理数集Q 引入无理数(根号) 实数集R 自然数 整数 有 理 数 实 数 引入虚数i 复数集 复数 知识梳理——2.复数的相关概念 (1)复数集C={a+bi|a,b∈R} (2)复数z=a+bi(a,b∈R) (3)虚数单位i： 规定i2=﹣1； i的幂有周期性，周期为4. 知识梳理——2.复数的相关概念 (4)复数相等： 作用：将复数问题转化为实数问题． 注：①若两个复数能比较大小，则它们必为实数. ②一般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等，不能比较大小. 如：3与1+2i不能比较大小；2+3i与1+2i不能比较大小. 知识梳理——2.复数的相关概念 (5)复数的几何意义： 复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b) 一一对应 平面向量OZ=(a,b) 一一对应 → ①建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面； x轴叫实轴，y轴叫虚轴. ②实轴上的点都表示实数(b=0)； ③虚轴上的点(除原点外)都表示纯虚数(a=0,b≠0)； 知识梳理——2.复数的相关概念 (6)复数的模： (7)共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做共轭复数. 知识梳理——2.复数的相关概念 (8)实系数一元二次方程在复数集内的解 知识梳理——3.复数的四则运算 (1)复数加法与减法的运算法则：实部和虚部分别相加/减 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 z1＋z2＝ ， z1－z2＝ ___. (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i 对任意z1，z2，z3∈C，有加法交换律：z1＋z2＝z2＋z1， 加法结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) (2)复数加法与减法的几何意义：对应向量相加/减 复数差的模=对应向量差的模=两点距离 知识梳理——3.复数的四则运算 (3)复数乘法的运算法则：类似于多项式的乘法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 对于任意z1，z2，z3∈C，有 ①乘法交换律：z1·z2＝z2·z1 ②乘法结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) ③乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 (4)复数除法的运算法则：分母实数化(上下同乘分母的共轭复数) 方法与易错归纳 (1)对于复数z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)注意分清复数分类中的条件：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0； ④z＝0⇔a＝0且b＝0. (4)|z－z0|(z,z0∈C)的几何意义是z, z0在复平面内的对应点Z, Z0的距离． 方法与易错归纳 (5)解决复数问题的主要思想方法有： ①转化思想：利用复数相等将复数问题实数化； ②数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决； ③整体化思想：利用复数的特征整体处理，分清实部和虚部. (6)常见结论：复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形． ①若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形； ②若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形； ③若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 方法与易错归纳 (7)复数模的最值问题解法 ①|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值内变为两复数差的形式． ②|z－z0|＝r表示z在以z0对应的点为圆心，r为半径的圆上． ③涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． (8)复数范围内z2≥0不一定成立，|z|2≠z2. (9)复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量． 链接高考 链接高考 3.(2020年新课标Ⅱ)(1－