6.2.3组合与6.2.4组合数学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

21届学案 选择性必修第三册A 2022-2023学年 承德县一中学案 组合与组合数 重点 1. 正确理解组合的意义，并能正确区分排列与组合。 2. 掌握组合数的计算公式、组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系；能够运用组合数的性质化简、计算。 难点 能正确区分“排列”与“组合” 考试要求 考试 · 题型 选择 填空 · 难度 简单 核心知识点一：组合的相关概念 1. 定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 2. 相同组合：只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺序如何，都是相同组合。 注意： （1）如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们的顺序如何都是相同的组合。当两个组合中的元素不完全相同（即使只有一个元素不同）时，就是不同的组合。 （2）区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素是否与顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题。 核心知识点二：组合数公式及其性质 1. 组合数定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。 2. 组合数公式： 3. 组合数公式及性质 （1）C＝1；（2）C＝C；（3）C＋C＝C 注意： 1. 组合与组合数是两个不同概念，如从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的组合为ab，bc，ac，其中每一种叫做一个组合，即组合不是数，是完成一件事的一种方法，而该问题的组合数是3。 2. 组合数公式推导的思路是依据分步乘法计数原理，遵循从特殊到一般的原则，将求从4个不同元素中任取3个的排列数分成先“求组合数”，后求“全排列数”两步来完成，这样就清楚地揭示出组合与排列的对应关系，从而利用这种对应关系和已知排列数公式得到组合数公式。 类型一：组合的概念及其简单应用 例题1 判断下列问题是排列问题，还是组合问题？ （1）从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个? （2）从a，b，c，d这4名学生中选2名学生，去完成同一件工作有多少种不同的选法? （3）规定每两人相互通话一次，5人共通了多少次电话? （4）5个人相互各写一封信，共写了多少封信? 【思路分析】观察取出的元素与顺序有关还是无关，确定是排列问题，还是组合问题。 【解析】（1）取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，那么会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题。 （2）2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题。 （3）甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，是组合问题。 （4）写信人与收信人是有区别的，是排列问题。 【总结提升】 区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题。因此，排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关。 类型二：组合数公式及其性质应用 例题2 （1）已知，则（ ） A. B. C. 或3 D. （2）的值等于（ ） A. 7351 B. 7355 C. 7513 D. 7315 （3）满足方程的解为__________。 【思路分析】主要考查组合数的公式以及性质，需要准确灵活掌握。 【答案】（1）C （2）D （3）x=2或x=5 【解析】 （1）∵，。当时成立；当时也成立，故选：C。 （2）原式=，故选D。 （3）因为，所以根据组合数的性质可得或， 解得或，经检验均符合题意。故答案为： 或。 【总结提升】 1. 组合数公式的连乘形式体现了组合数与相应排列数的关系，在计算具体的组合数时会经常用到。 2. 组合数公式的阶乘形式的主要作用是对含有字母的组合数的式子变形或证明。 3. 组合数的性质 （1）用来进行转化，减少计算量； （2）用于计算或化简多个组合数连加，将其化成最简形式。 例题3 已知求m。 【思路分析】利用组合数公式及组合数性质进行计算，注意求得结果后要进行检验。 【解析】由已知得，整理得m2-23m+42=0。 解得m=2或m=21。 由题意得m的取值范围是{m|0≤m≤5，m∈N*}， ∴m=2。 【总结提升】本题是一个含组合数的关于m的方程，把问题转化为关于m的一元二次方程后，易忽略m的取值范围而导致错误。解决此类问题时，要将中的m，n的取值范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求解。 常见易错问题剖析 解不等式：2C＜3C。 【错解】因为2C＜3C， 所以2C＜3C。 所以＜3×。 所以＜，解得x＜。 又x∈N