第17章 勾股定理复习(第2课 考点)-2022-2023学年八年级数学下册同步精品随堂教学课件(人教版)

考点讲解 勾股定理的章节复习 | 第2课时| 第十七章 勾股定理 考点一 勾股定理及其应用 内容提要 知识结构 考点二 勾股定理的逆定理及其应用 考点三 勾股定理与折叠问题 考点四 运用勾股定理求两点距离 考点五 勾股定理与数学思想 考点一 勾股定理及其应用 例1 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于 D，AC = 20，BC = 15. (1) 求 AB 的长； (2) 求 BD 的长． 解：(1) ∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°， (2) 方法一：∵ S△ABC = AC • BC = AB • CD， ∴ 20×15 = 25CD，∴ CD = 12． ∴ 在 Rt△BCD 中， 考点一 勾股定理及其应用 例1 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于 D，AC = 20，BC = 15. (1) 求 AB 的长； (2) 求 BD 的长． 方法二：设 BD = x，则 AD = 25 - x. 解得 x = 9. ∴ BD = 9. 例2 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 解：如图，设水池的水深 AC 为 x 尺， 则这根芦苇长 AD = AB = (x+1) 尺， 在直角三角形 ABC 中，BC = 5 尺， 由勾股定理得 BC2 + AC2 = AB2， 即 52 + x2 = (x + 1)2 25 + x2 = x2 + 2x + 1， 2x = 24， ∴ x = 12，x + 1 = 13. 答：水池的水深 12 尺，这根芦苇长 13 尺. 例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 解析：蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C1 点，有三种方式： ①沿 ABB1A1 和 A1 B1C1D1 面； ②沿 ABB1A1 和 BCC1B1面； ③沿 AA1D1D 和 A1B1C1D1 面， 解：① 在 Rt△ABC1中， ②在 Rt△ACC1 中， ③在 Rt△AB1C1中， ∴沿路径①走路径最短，最短路径长为5. 归纳总结1 长方体最短距离问题 化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短. 考点二 勾股定理的逆定理及其应用 例4 在△ABC中，AB = c，BC = a，AC=b， ，2c - b = 12， 求△ABC 的面积． 解：由题意可设 a = 3k，则 b = 4k，c = 5k， ∵ 2c - b = 12， ∴ 10k - 4k = 12，∴k = 2， ∴ a = 6，b = 8，c = 10， ∵ 62 + 82 = 102， ∴ a2 + b2 = c2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 的面积为 ×6×8=24． 例5 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进，2 h 后，甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 解：甲船航行的距离为 BM = 16（n mile），乙船航行的距离为 BP = 30（n mile）． ∵162 + 302 = 1156，342 =1156， ∴BM2 + BP2 = MP2， ∴△MBP 为直角三角形，∴∠MBP = 90° ， ∴乙船是沿着南偏东 30° 方向航行的． 考点三 勾股定理与折叠问题 例6 如图，在长方形 ABCD 中，AB = 3 cm，AD = 9 cm，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF，求 △ABE 的面积. 解：由折叠可知 ED = BE. 设 AE = x cm，则 ED = BE = (9 - x) cm． 在 Rt△ABE 中，AB2 + AE2 = BE2， ∴ 32 + x2 = (9 - x)2， 解得 x = 4. ∴ △ABE 的面积为 ×3×4 = 6 (cm2). 归纳总结2 折叠问题问题求长度 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，往往要通过勾股定理列方程去求解． 考点四 运用勾股定理求两点距离 A 2 1 -4 -3 -2 -1