第三章 第三课时 函数的性质-【中职专用】高一数学寒假衔接课（高教版2021·基础模块上册）

第三章 第三课时 函数的性质 基础知识 1．函数的单调性 ①单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 ②单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． ③证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 2．函数的奇偶性 ①函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． ②奇偶函数的图象与性质 偶函数：函数是偶函数函数的图象关于轴对称；偶函数必满足；偶函 数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反. 奇函数：函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称；若奇函数在处有意义，则有；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． ③用定义判断函数奇偶性的步骤 第一步：求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； 第二步：求，若，则 是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数. 例题解析 【例1 】已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】函数的对称轴为，因为函数在上具有单调性， 所以或，即或，故选：C. 【例2 】设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数是定义在上的奇函数，则，且，∴. 故选：D. 【例3 】如果奇函数在区间上是增函数且最大值为8，那么在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 【答案】B 【解析】在区间上是增函数且最大值为8，且是奇函数，则在是增函数，且最小值是，故选：B. 【例4 】已知是定义在R上的奇函数，当时时， （1）求解析式 （2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明） 【答案】（1）；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为：，，单调递减区间为：，. 【解析】解：（1）当时，，当时，，，所以， （2）的图像为： 单调递增区间为：，，单调递减区间为：，. 【例5 】已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并证明． 【答案】(1)奇函数；(2)在上是单调递减函数；证明见解析 【解析】解：（1）当时，，定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数． （2）当时，，证明：取，， 所以，，则，即，所以在上是单调递减函数． 过关检测 【选择】 1．若函数，在其定义域上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据一次函数的性质可得，解得，故选：A. 2．函数在上是减函数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上是减函数，则，故选：C. 3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AD选项为奇函数，故AD错；B选项为偶函数，当时，，单调递增，故B正确； C选项为偶函数，但在上单调递减，故C错，故选：B. 4．若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是偶函数，所以，在上是减函数，所以在上是增函数，所以，故，故选：B. 5．函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的增函数，由可得，解得， 故选：D. 6．函数单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的图象是开口向上，且以直线为对称轴的抛物线，故函数的单调递减区间是，故选：C． 7．若偶函数在区间上的最大值为，则函数在区间上有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 【答案】D 【解析】因为为偶函数，所以的图像关于即轴对称，也就是说自变量相反的两个数函数值一样，所以有最大值，故选：D. 8．已知是