第三章 第一课时 函数的概念-【中职专用】高一数学寒假衔接课（高教版2021·基础模块上册）

第三章 第一课时 函数的概念 基础知识 1．函数的概念 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，定义域、对应关系和值域为构成函数的三要素. 2．求函数定义域的常用方法： （1）若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零.①④ （2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零. （3）若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. （4）若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. （5）若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 3．相同函数：构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 4．分段函数：如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 5．复合函数：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 例题解析 【例1 】下列四个图象中，是函数图象的是（    ） A．（） B．（）（） C．（）（）（） D．（）（）（） 【答案】D 【解析】由函数的定义可知：对定义域内任意一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，所以（1）（3）（4）符合，（2）中，一个x的值，有两个不同的y值与之对应，所以不符合，故选：D. 【例2 】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，解得且，所以的定义域为，故选：B. 【例3 】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一函数，故A错误；对于B，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一函数，故B错误；对于C，由函数的定义域为，且的定义域为，则是同一函数，故C正确；对于D，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一函数，故D错误，故选：C. 【例4 】已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为，即，所以对于有， 所以的定义域为，故答案为：. 【例5 】已知函数， （1）点在的图象上吗？ （2）当时，求的值； （3）当时，求x的值； （4）求的值. 【答案】(1)不在；(2)；(3)14；(4) 【解析】解：（1）将x=3代入解析式得，故点（3,14）不在函数图像上； （2）将x=4代入函数解析式得 ； （3）若，则 ，解得x=14； （4） ， . 过关检测 【选择】 1．在下面四个图中，可表示函数的图象的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义可知，一个只能对应一个，所以ABC错，D正确，故选：D. 2．函数的定义域是（    ） A． B． C．R D． 【答案】A 【解析】要使函数有意义，则解得且，故选：A. 3．下列每组中的两个函数是同一函数的是（    ） A．与; B．与; C．与; D．与． 【答案】B 【解析】关于选项A:的定义域为,的定义域为,两个函数定义域不同,故选项A错误; 关于选项B:的定义域为，的定义域为，且，故两个函数解析式相同，故选项B正确；关于选项C:的定义域为,的定义域为,两个函数定义域不同,故选项C错误; 关于选项D:,两个函数解析式不同,故选项D错误，故选:B. 4．，则等于（    ） A．-2 B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以，故选：C. 5．函数，的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则，所以函数的值域为，故选：D. 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D．（1，2） 【答案】C 【解析】由于函数的定义域为，令，解得，故函数的定义域为， 故选：C. 7．已知，则的值为（    ） A．26 B．20 C．18 D．16 【答案】C 【解析】由得，所以当时，，故选：C. 8