第四章 第二课时 弧度制-【中职专用】高一数学寒假衔接课（高教版2021·基础模块上册）

第四章 第二课时 弧度制 基础知识 1．弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3．重要公式 弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 4．角度制与弧度制互化的关键与方法 1关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键； 2方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数； 3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度. 5．弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解． 例题解析 【例1 】下列说法中，错误的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的，的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】D 【解析】对于A选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，A选项正确；对于B选项，的角是周角的，的角是周角的，B选项正确；对于C选项，，C选项正确；对于D选项，用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，D选项错误，故选：D. 【例2 】4弧度的角的终边所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】∵4 rad ≈rad，∴，故其终边在第三象限，故选：C. 【例3 】一个扇形的周长为8，当圆心角为 时，扇形的面积有最大值． 【答案】2 【解析】设扇形的半径为，弧长为 ∵扇形的周长为8， 即 ，∴扇形的面积 ，∴当半径 时，扇形的面积最大为4， ，此时，  故答案为：2． 【例4 】设与终边相同的角的集合为M，则①；②M中最小正角是；③M中最大负角是，其中正确的有 .（选填序号） 【答案】①②③ 【解析】因为，所以①正确，令k=0，可得②正确；令k=-1，可得③正确，故答案为：①②③. 【例5 】已知某半径小于的扇形，其周长是，面积是. （1）求该扇形的圆心角的弧度数； （2）求该扇形中所含弓形面积（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）. 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）由题意，扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形弧长为，则：扇形的周长+2R=，扇形的面积S=，解得，故圆心角弧度数为． （2）所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为，底为，S三角形面积= 可得：S弓形面积=S扇形-S三角形面积=，故S弓形面积=. 过关检测 【选择】 1．若角，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】因为，所以是第二象限角，故选：B． 2．下列命题中正确的是（    ）． A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角； B．5弧度的角是第三象限角； C．是第一象限角，则也是第一象限角； D．－1弧度角是锐角． 【答案】C 【解析】A选项，1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误；B选项，，所以弧度是第四象限角，B选项错误；C选项，是第一象限角，即，所以，所以也是第一象限角，C选项正确；D选项，－1弧度角是负角，所以不是锐角，D选项错误，故选：C. 3．已知单位圆上有一段长度等于2的弧，则这段弧所对应的圆心角为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】由已知圆心角为弧度，故选：B． 4．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故与角的终边相同的角的集合为，故选：D. 5．若扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由扇形面积公式可得：，故扇形的半径，则扇形的圆心角的弧度数，故这个扇形的圆心角的弧度数是3，故选：B. 6．给出下列3个结论，其中正确的个数是（    ） ①是第三象限角；②是第二象限角；③. A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】①，所以是第三象限角，正确；②，所以是第三象限角，故不正确；③，故不正确，故选：C. 7．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（   ） A．扇形的圆心角大小不变 B．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C．扇形的圆心角增大到原来的4倍 D．不能确定 【答案】A 【解析】设圆心角的半径与弧长分别为、，此时圆心角的弧度数为，当