构造函数的应用微专题练-2023届高三数学二轮专题复习

冲刺2023年高考二轮　构造函数的应用微专题练 （原卷+答案） 一、单项选择题 1．已知直线x＝t与y＝x及y＝2ln x的图象分别交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．1 B．2ln 2－2 C．2ln 2 D．2－2ln 2 2．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．b>a>c 3．设a＝2e－0.2，b＝e0.2，c＝1.2，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<b<a 4．定义在(1，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且(x－1)f′(x)－f(x)>x2－2x对任意x∈(1，＋∞)恒成立．若f(2)＝3，则不等式f(x)>x2－x＋1的解集为(　　) A．(1，2) B．(2，＋∞) C．(1，3) D．(3，＋∞) 二、多项选择题 5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，则下列式子成立的是(　　) A．f(2 021)<ef(2 022) B．f(2 021)>ef(2 022) C．f(x)是R上的增函数 D．∀t>0，则f(x)<etf(x＋t) 6．已知函数y＝f(x)在R上可导且f(0)＝1，其导函数f′(x)满足(x＋1)[f′(x)－f(x)]>0，对于函数g(x)＝，下列结论正确的是(　　) A．函数g(x)在(－∞，－1)上为增函数 B．x＝－1是函数g(x)的极小值点 C．函数g(x)必有2个零点 D．e2f(e)>eef(2) 三、填空题 7．已知f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，xf′(x)－3f(x)>0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是________． 8．若∀x∈[1，2]，不等式xlog2x＋2x2－ax<0恒成立，则实数a的取值范围为________． 四、解答题 9．已知函数f(x)＝ex＋1－ax－a－1. (1)讨论f(x)的极值； (2)设a＝1，若关于x的不等式f(x－1)≥bx3－x2在区间(0，＋∞)内恒成立，求实数b的取值范围． 10．设函数f(x)＝＋ln x，g(x)＝x3－x2－3. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)如果对于任意的x1，x2∈，都有x1f(x1)≥g(x2)成立，试求a的取值范围． 参考答案 1．解析：令f(x)＝x－2ln x，则f′(x)＝1－＝. 当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0. 所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(2)＝2－2ln 2，即|AB|最小值为2－2ln 2.故选D. 答案：D 2．解析：设f(x)＝，则f′(x)＝，x>e时，f′(x)<0，f(x)是减函数， 又e<3<5，所以f(e)>f(3)>f(5)，即>>，故选D. 答案：D 3．解析：设f(x)＝ex－x－1，可得f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0， 当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)>f(0)＝0，即ex>x＋1， 则a＝2e－0.2>2×(－0.2＋1)＝1.6，b＝e0.2>0.2＋1＝1.2，所以c＝1.2最小， 又由＝＝，因为e0.4<e0.5<40.5＝2，所以＝<1，所以b<a， 综上可得c<b<a.故选D. 答案：D 4．解析：由(x－1)f′(x)－f(x)>x2－2x，即(x－1)f′(x)－f(x)＋1>(x－1)2， 即－1>0，即′>0对x∈(1，＋∞)恒成立， 令g(x)＝－x，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∵f(2)＝3，∴g(2)＝0， 由f(x)>x2－x＋1，即－x>0，即g(x)>g(2)， 因为g(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴x>2，故选B. 答案：B 5．解析：由f(x)＋f′(x)>0，得exf(x)＋exf′(x)>0，即[exf(x)]′>0， 所以函数y＝exf(x)为R上的增函数，故e2 021f(2 021)<e2 022f(2 022)， 所以f(2 021)<ef(2 022)，故A正确，B不正确；函数exf(x)为增函数时，f(x)不一定为增函数，如f(x)＝，显然exf(x)是增函数，但f(x)是减函数，所以C不正确； 因为函数exf(x)为增函数，所以t>0时，有exf(x)<ex＋tf(x＋t)，故有f(x)<etf(x＋t)成立，所以D正确．故选AD. 答案：AD 6．解析：函数g(x)＝，则g′(x)＝， 当x>－1时，f′(x)－f(x)>0，故g(x)在(－1