考点10 双曲线的离心率10种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

考点10 双曲线的离心率10种常见考法归类 1、由双曲线的定义求离心率 圆锥曲线的离心率是用来描述其形状特征的量，它的基本定义式为，根据定义式可知求解离心率最基本的方法就是求出具体的参数，其比值也就是圆锥曲线离心率的大小. 2、利用双曲线中的三个重要三角形求离心率 双曲线C：中有三个重要的三角形，它们分别是： （1） 焦点三角形，它满足： ①；②设，则 （2） 过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为M，得到，它满足： ①； ②设则 （3）过双曲线的右顶点A作轴的垂线交渐近线于点B，得到 Rt△OAB，它满足：，且点 这三个三角形涉及到双曲线的定义、渐近线、三个参数a，b，c 的几何关系，它们对于解决双曲线的离心率问题起到很重要的作用.因此，对于双曲线的离心率问题，特别是与渐近线有关的离心率问题，我们可以分析题目中给出的条件，看看是否包含上述三个重要三角形，或者根据条件构造出这些重要的三角形，然后再利用其它几何关系，如对称关系，勾股定理，角度关系，面积关系等等去思考求解，这样往往比用代数法求解运算量小，简单方便！ 3、共焦点椭圆与双曲线 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则 考点一 利用双曲线的定义求离心率 1．（2023秋·江苏淮安·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．3 D．7 2．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为______. 3．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为___________ 4．（2023秋·广东广州·高二广州市天河中学校考期末）已知双曲线，、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，连接交双曲线左支于点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为______. 5．（2023秋·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）已知，分别是双曲线C：)的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点，且PQ⊥．若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2022秋·广东惠州·高三校考期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若，则双曲线C的离心率的取值范围为__________． 考点二 利用几何关系求离心率 7．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）直线与双曲线E：（，）交于M，N两点，若为直角三角形（其中O为坐标原点），则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过双曲线C上一点P向y轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，若在右支上存在一点，使得点到直线的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是_____． 考点三 利用齐次方程求离心率 10．（2022秋·安徽芜湖·高三统考期末）已知双曲线：的左、右焦点为，，为双曲线渐近线上一点．满足，且直线，的斜率之和为，则双曲线的离心率为______． 11．（2022秋·全国·高二校联考阶段练习）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为__________. 12．（2022·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考学业考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为__________． 考点四 利用渐近线求离心率 13．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 14．（2023秋·北京·高二校考期末）已知直线：是双曲线：的一条渐近线，则___________；双曲线的离心率为___________. 15．（2022秋·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知双曲线C：的一条渐近线与直线l：垂直，则双曲线C的离心率为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点，则双曲线的离心率是（    ） A．10 B． C． D． 17．（2022秋·北京·高三校考阶段练习）若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为____