球的接、切问题微专题练-2023届高三数学二轮专题复习

冲刺2023年高考二轮　球的接、切问题微专题练 （原卷+答案） 一、单项选择题 1．已知一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为(　　) A．π B．4π C．8π D．12π 2．在三棱锥P ­ ABC中，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，|AC|＝5，|BC|＝，|PA|＝8，则三棱锥P ­ ABC外接球的表面积是(　　) A．100π B．50π C．144π D．72π 3．在底面是正方形的四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA＝3，AB＝4，则四棱锥P ­ ABCD内切球的表面积为(　　) A．3π B．4π C．5π D．6π 4．如图，三棱锥V ­ ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AV＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为(　　) A.(2－)∶1 B．∶1 C．∶3 D．∶2 5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为4π，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为(　　) A． B． C．16π D．32π 6．在正四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中，BB1＝2BC＝2，E为AA1的中点，点F为线段CC1上的动点，则三棱锥E ­ BB1F的外接球表面积的最大值为(　　) A．π B．4π C．5π D．10π 二、多项选择题 7．已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(　　) A．球O的表面积为6π B．球O的内接正方体的棱长为1 C．球O的外切正方体的棱长为 D．球O的内接正四面体的棱长为2 8．已知正四棱台ABCD ­ A1B1C1D1的上下底面边长分别为4，6，高为，E是A1B1的中点，则(　　) A．正四棱台ABCD ­ A1B1C1D1的体积为 B．平面BC1D⊥平面AA1C1C C．AE∥平面BC1D D．正四棱台ABCD ­ A1B1C1D1的外接球的表面积为104π 三、填空题 9．已知正四面体ABCD的表面积为2，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为________． 10．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑P ­ ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且PA＝AB＝2BC＝4，则鳖臑P ­ ABC外接球的体积是________． 11．表面积为Q的多面体的每一个面都与体积为36π的球相切，则这个多面体的体积为________． 12．如图，在四面体ABCD中，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AB＝，∠BAD＝∠CBD＝，平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的表面积为________． 13．已知三棱柱ABC ­ A1B1C1的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若AA1＝AC＝2，AB⊥BC，则此球的体积为________． 14．某中学开展劳动实习，学习加工制作包装盒．现将一张足够用的正方形硬纸片加工制作成轴截面的顶角为60°，高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球形冰淇淋(内切)，则该球形冰淇淋的表面积为________． 15．如图，等腰Rt△PAD与矩形ABCD所在平面垂直，且PA＝PD＝AB＝2，则四棱锥P ­ ABCD的外接球的表面积为________． 参考答案 1．解析：若棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上， 则球的直径等于正方体的体对角线长，即2R＝＝2，(其中R是该球的半径)， 所以R＝，则球的体积V＝πR3＝4π.故选B. 答案：B 2．解析：如图，将三棱锥放于一个长方体内： 则三棱锥的外接球就是长方体的外接球， ∴PB为三棱锥P ­ ABC外接球的直径， ∵|PB|＝＝10， ∴外接球的表面积为4π×2＝100π.故选A. 答案：A 3．解析：由题意，设四棱锥P ­ ABCD内切球的半径为r，易知|PB|＝5. 因为VP ­ ABCD＝×42×3＝16，四棱锥P ­ ABCD的表面积S＝42＋×3×4×2＋×4×5×2＝48， 所以r＝＝1， 所以四棱锥P ­ ABCD内切球的表面积为4πr2＝4π.故选B. 答案：B 4．解析：因为VA⊥底面ABC，AB，AC⊂底面ABC，所以VA⊥AB，VA⊥AC， 又因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC，而AB＝AC＝AV＝2， 所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长、宽、高， 因此该三棱锥外接球的半径R＝＝，设该三棱锥的内切球的半径为r， 因为∠BAC＝90°，所以BC＝＝＝2， 因为VA⊥AB，VA⊥AC，AB