第18讲 19.2.3一次函数与方程、不等式（知识精讲）2022—2023学年人教版数学八年级下册

第18讲 19.2.3一次函数与方程、不等式 素养目标 1．会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式. 2．了解分段函数，会求分段函数的解析式及确定自变量的取值范围. 3．有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力. 知识梳理 1．一次函数与一元一次方程 （1）一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)与一元一次方程kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的关系 数：函数y=kx+b中，函数值y=0时自变量x的值是方程kx+b=0的解. 形：函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标是方程kx+b=0的 2．一次函数图象法解一元一次方程的步骤 （1）转化：将一元一次方程转化为一次函数； （2）画图象：画出一次函数的图象； （3）找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解. 【特别提醒】 对于一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 3．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)与一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)(k，b为常数，且k≠0)的关系 数：函数y=kx+b中，函数值y>0时自变量x的取值范围是不等式kx+b>0的解集；函数值y<0时自变量x的取值范围是不等式kx+b<0的解集. 形：函数y=kx+b的图象中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b>0的解集；位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b<0的解集. 【特别提醒】 利用图象法解一元一次不等式的一般步骤： ①将不等式转化为ax+b﹥0或ax+b﹤0(a≠0)的形式； ②画出函数图象并确定函数图象与x轴的交点坐标； ③根据函数图象确定对应不等式的解集. （2）拓展： 直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2的交点的横坐标即为方程k1x+b1=k2x+b2的解； 不等式k1x+b1>k2x+b2(或k1x+b1<k2x+b2)的解集就是直线y1=k1x+b1在直线y2=k2x+b2上(或下)方部分对应的x的取值范围.示例：如图，方程k1x+b1=k2x+b2的解为x=a；不等式k1x+b1>k2x+b2的解集为x＞a；不等式k1x+b1<k2x+b2的解集为x＜a. 4．一次函数与二元一次方程 （1）一次函数与二元一次方程的联系 一般地，一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是关于x，y的二元一次方程kx－y+b=0的解；以关于x，y的二元一次方程kx－y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上，即： ①二元一次方程转化一次函数转化一条直线； ②二元一次方程的解对应一次函数两变量的值对应直线上的点的坐标. （2）二元一次方程与一次函数的区别 ①二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； ②二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图象法表示两个变量的关系. 【特别解读】 因为二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标之间的关系是一一对应的，所以可以实现方程与函数之间的相互转化，这体现了数形结合思想. 以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其对应的一次函数的图象完全重合(是一条直线). 5．一次函数与二元一次方程组 （1）一次函数与二元一次方程组的对应关系 二元一次方程组两个一次函数两条直线； 二元一次方程组的解两个一次函数值相等时的自变量值及函数值两条直线的交点坐标. （2）两直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系 两条直线有交点(相交)方程组只有一组解； 两条直线无交点(平行)方程组无解； 两条直线是同一直线(重合)方程组有无数组解. （3）用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 ①变函数：把方程组化为一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2； ②画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； ③找交点：由图象确定两直线交点的坐标； ④写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 【特别解读】 利用图象法求出的方程组的解是否准确,取决于所画的图象是否准确,判断图象法求方程组所得到的解是否准确,可以将得到的解代入方程组中进行检验,如果方程组中的两个方程同时成立,则得到的解是准确的. 考点精讲 题型1：一次函数与一元一次方程 【典例1】（2022春•武邑县期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点P（﹣3，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定 【练一练】（2021春•鱼台县期末）一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点