第16讲 19.2.2.1 一次函数（知识精讲）2022—2023学年人教版数学八年级下册

第16讲：19.2.2.1一次函数 素养目标 1．理解一次函数的概念，通过数形结合理解并掌握一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象之间的关系；． 2．会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象理解一次函数的增减性． 3．能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题． 知识梳理 1．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数. 【特别提醒】一次函数y=kx+b(k≠0)的结构特征： （1）k≠0；（2）自变量x的次数是1；（3）常数项b可以是任意实数. 2．一次函数与正比例函数的关系 (1)正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数y=kx+b(k≠0)中b=0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知y与x成正比例，则可设函数解析式为y=kx(k≠0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数解析式为y=kx+b(k，b是常数，k≠0). 一次函数的图象 3．一次函数的图象 (1)一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b. (2)一次函数的图象与正比例函数的图象的关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx(k≠0)沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移｜b｜个单位长度得到. 4．一次函数图象的画法 (1)两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线y=kx+b与两坐标轴的交点，即(0，b)与画直线. (2)平移法：一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的图象是由直线y=kx沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移｜b｜个单位长度得到的，反之，直线y=kx也可以通过沿y轴平移直线y=kx+b得到. 【特别提醒】｜k｜的大小与直线y=kx+b(k≠0)倾斜程度间的关系： ｜k｜的大小决定直线y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的倾斜程度.｜k｜越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；｜k｜越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 5．一次函数图象的平移 (1)上、下平移：直线y=kx+b向上平移n(n>0)个单位长度得到直线y=kx+b+n；直线y=kx+b向下平移n(n>0)个单位长度得到直线y=kx+b－n，简记为：上加下减(只改变b). (3)左、右平移：直线y=kx+b向左平移m(m>0)个单位长度得到直线y=k(x+m)+b；直线y=kx+b向右平移m(m>0)个单位长度得到直线y=k(x－m)+b，简记为：左加右减(只改变x). 【拓展】 (1)当直线平行于x轴且与y轴交点的纵坐标为b时，这条直线的函数解析式为y=b； (2)当直线平行于y轴且与x轴交点的横坐标为a时，这条直线的函数解析式为x=a； (3)x轴、y轴分别表示为直线y=0、直线x=0.综上所述，坐标平面内任意一条直线都可以用函数解析式表示. 6．一次函数的性质 一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的性质和k，b的符号的关系 一次函数 y=kx+b(k，b是常数，k≠0) k，b 的符号 k>0 k<0 图象 一条直线↑ 图象 一条直线↓ b>0 图像过一、二、三象限 b>0 图像过一、二、四象限 b<0 图像过一、三、四象限 b<0 图像经过二、三、四象限 b=0 图像一、三象限 b=0 图像经过二、四象限 增减性 y随x的增大(或减小)而增大(或减小) y随x的增大(或减小)而减小(或增大) 【特别提醒】 (1)由k，b的符号可以确定直线y=kx+b(k，b是常数，k≠0)所经过的象限；反之，由直线y=kx+b(k，b是常数，k≠0)所经过的象限也可以确定k，b的符号. (2)k决定一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的增减性，b决定函数图象与y轴的交点位置. 考点精讲 题型1：一次函数的识别 【典例】（2022秋•尤溪县期中）下列函数：①y＝4x；②y；③y；④y＝﹣4x+1，其中一次函数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【练一练】（2022秋•朝阳区校级期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B．y＝﹣5x+3 C．y＝x2+3x﹣5 D． 题型2：利用一次函数的概念求字母的值 【典例】（2022秋•宜都市期中）如果y＝（m﹣2）2是一次函数，那么m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．± 【练一练】（2022秋•宁德期中）已知函数y＝（m﹣3）4是关于x的一次函数，则m的值是（　　） A．m＝3 B．m＝±3 C．m＝﹣3 D．m≠3 题型3：实际问题中确定一次函数解析式 【典例】（2022春•石家庄期末）根据记录，从地面向上11km以内（包含11km），每升高