考点08 椭圆大题14种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

考点08 椭圆大题14种常见考法归类 1、直线与椭圆的位置关系 判别式法，即将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如y)得出方程Ax2＋Bx＋C＝0： ①Δ＞0⇔有两个交点(相交)； ②Δ＝0⇔有一个交点(相切)； ③Δ＜0⇔没有交点(相离)． (2)弦长问题：弦长公式＋韦达定理，即|AB|＝·| x1－x2|＝·| y1－y2|. (3)中点问题：点差法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线斜率之间的关系. (4)巧设直线： 反设直线法，即过x轴上一点(a,0)的直线可设为x＝ty＋a，这样可避免对直线斜率存在性的讨论． 2、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法 (1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0. (2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． (3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　 3、解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.　　　　 4、求与椭圆相关的面积相关的取值范围 直线与椭圆结合，求解面积相关的取值范围问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，得到相关三角形的面积，再利用配方法，分离常数或基本不等式等方法求解最值或取值范围. 5、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．　　　　 6、求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式 注：过椭圆上一定点,作两条直线分别与椭圆交于A,B两点,且两直线斜率之积为,则   (1)当时,直线恒过一个定点,且定点为.   (2) 当时,直线AB的斜率为定值. 7、解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 考点一 求椭圆方程 1．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知椭圆的上顶点与右焦点分别为为坐标原点，是底边长为2的等腰三角形． (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆有两个不同的交点，若，求的值． 2．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与曲线相切，与椭圆交于，两点，求的值. 3．（2022秋·陕西咸阳·高二统考期末）已知椭圆：的长轴顶点与双曲线的焦点重合，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，求点到轴的距离. 考点二 与椭圆有关的轨迹问题 4．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）已知动圆M与圆：外切，与圆：内切，动圆M的圆心M的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的轨迹方程； (2)过点的直线l与曲线E交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2022秋·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知定点，圆，为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与轨迹交于两点，若点满足，求四边形面积的最大值． 6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）动点M与定点的距离和M到定直线的距离之比是常数.