第7章 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其 几何意义 学习任务目标 　　1.会进行复数三角形式的乘除运算．(数学运算) 　　2.了解复数乘、除运算的几何意义. (1)复数代数形式下的乘法法则：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 知识点一　复数的三角形式乘法运算及其几何意义 1．复数的三角形式乘法运算 文字描述：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 符号表示：r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. 2．复数乘法运算三角表示的几何意义 复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. [微训练] 设z1＝cos ＋isin ，z2＝3，则z1·z2＝(　　) A．＋i B．－i C．－＋i D．－－i C　解析：z1·z2＝3＝ 3＝－＋i. 知识点二　复数的三角形式除法运算及其几何意义 1．复数的三角形式除法运算 文字描述：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 符号表示：＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]. 2．复数除法运算三角表示的几何意义 复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按顺时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商. [微训练] 设z1＝4，z2＝cos ＋isin ，则＝(　　) A．2＋2i B．－2＋2i C．－2－2i D．2－2i D　解析：＝ ＝4＝2－2i. 复数三角形式的乘法运算 根据复数三角形式的乘法法则，探究下列问题． 探究1：复数三角形式的乘法法则成立的前提条件是什么？ 提示：两个复数都是三角形式．如果不是三角形式，要先化成三角形式，然后再运算． 探究2：由两个复数相乘的三角形式，能推广到n个复数相乘的形式吗？ 提示：有限个复数相乘，结论也成立． 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，…，zn＝rn(cos θn＋isin θn)，则z1·z2·…·zn＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)·…·rn(cos θn＋isin θn)＝r1r2·…·rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]． 探究3：如果n个复数相等，它们的乘积是什么形式(假设z＝r(cos θ＋isin θ))? 提示：zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)． 1．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是(　　) A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160° C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160° B　解析：令z＝sin 10°＋icos 10°，其三角形式为z＝cos 80°＋isin 80°，所以z·z＝(cos 80°＋isin 80°)2＝cos 160°＋isin 160°.故选B. 2.(cos 30°＋isin 30°)×2(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 45°＋isin 45°)＝(　　) A．＋i B．－i C．－＋i D．－－i C　解析：(cos 30°＋isin 30°)×2(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 45°＋isin 45°) ＝×2×3[cos(30°＋60°＋45°)＋isin(30°＋60°＋45°)] ＝3(cos 135°＋isin 135°)＝3 ＝－＋i.故选C. 3．－2·＝－1－i. 解析：－2·＝－2＝－1－i. 复数三角形式的除法运算 【例1】求的值． 解：－i＝cos 270°＋isin 270°， 2(cos 120°－isin 120°)＝2(cos 240°＋isin 240°)． 原式＝ ＝[cos(270°－240°)＋isin(270°－240°)] ＝(cos 30°＋isin 30°)＝＋i. 1．9(cos 3π＋isin 3π)÷3(cos 2π＋isin 2π)＝(　　) A．3 B．－3