第7章 7.3.1 复数的三角表示式-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

7.3*　复数的三角表示 7.3.1　复数的三角表示式 学习任务目标 　　1.了解复数三角形式的模、辐角等基本概念． 　　2.能转化复数的三角形式. (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝. (2)诱导公式：sin(2π－α)＝－sin α，sin(π－α)＝sin αcos＝－sin α. 知识点一　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的夹角 1．复数的辐角 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角. 2．辐角的主值 我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作arg z. [微思考] 1．任意复数是否都有辐角？ 提示：不一定，例如复数0，它所对应的向量缩成一个点(零向量)，这样的向量没有确定的方向，所以复数0没有确定的辐角． 2．复数的模和辐角的主值是唯一确定的吗？ 提示：0的模是唯一确定的，辐角的主值是任意的，非零复数的模和辐角的主值都是唯一确定的． 3．纯虚数的辐角的主值是什么？ 提示：设纯虚数为bi(b≠0)，当b>0时，arg(bi)＝；当b<0时，arg(bi)＝. 知识点二　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式 1．复数的三角形式 r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，其中r＝≥0，cos θ＝，sin θ＝. 2．复数的代数形式 为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． [微训练] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)复数2是三角形式． (×) (2)arg(2＋2i)＝. (√) (3)复数3的模为3. (×) (4)把－3i化为三角形式为cos ＋isin . (×) 复数的代数形式化为三角形式 任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成三角形式r(cos θ＋isin θ)，探究下列问题． 探究1：复数的三角形式唯一吗？ 提示：不唯一，例如1＝cos 0＋isin 0＝cos 2π＋isin 2π＝… 探究2：复数的三角形式有哪些特征？ 提示：模非负，角相同，余弦前，加号连． 1．若a<0，则a的三角形式为(　　) A．a(cos 0＋isin 0) B．a(cos π＋isin π) C．－a(cos π＋isin π) D．－a(cos π－isin π) C　解析：因为a<0，所以辐角的主值为π，故其三角形式为－a(cos π＋isin π)． 2．复数1＋i化为三角形式为(　　) A．cos ＋isin B．cos ＋isin C． D．2 C　解析：1＋i＝. 3．下列复数是三角形式表示的是(　　) A． B．－ C． D．cos ＋isin D　解析：选项A，cos 与isin 之间应该用“＋”连接，而不是用“－”连接；选项B，－<0不符合r≥0的要求；选项C，sin 与icos 不是cos ＋isin 的形式．故A，B，C均不是三角形式．故选D. 4．复数－sin 30°－icos 30°的三角形式为(　　) A．sin 30°＋icos 30° B．cos 240°＋isin 240° C．cos 30°＋isin 30° D．sin 240°＋icos 240° B　解析：易知－sin 30°＝－cos 60°＝cos(180°＋60°)＝cos 240°，－cos 30°＝－sin 60°＝sin(180°＋60°)＝sin 240°，所以B选项正确． 将复数的三角形式化为代数形式 【例1】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式． (1)4； (2)(cos 60°＋isin 60°)； (3)2. 解：(1)复数4的模r＝4，辐角的主值为. 4＝4cos ＋4isin ＝4×＋4×i ＝2＋2i. (2)复数(cos 60°＋isin 60°)的模 r＝，辐角的主值为60°. (cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i＝＋i. (3)2 ＝2 ＝2. 所以复数的模r＝2，辐角的主值为. 2＝2cos ＋2isin ＝2×＋2×i ＝1－i. 1．复数z＝化为代数形式为(　　) A．＋i B．－＋i C．－－i D．－i D　解析：z＝ ＝sin ＋icos ＝×＋i× ＝－i. 2．若|z|＝2，arg z＝，则z＝1＋i. 解析：z＝2＝1＋i. 复数的模与辐角的主值 【例2】设复数z的辐角是，实部是－2，则z＝－2＋2i. 解析：由复数三角形式的定义结合辐角的正切值可