(练习)16 课时分层训练(十一) 数学归纳法-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

课时分层训练(十一) 数学归纳法 1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，第一步验证n＝1，左边应取的项是(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 D　解析：当n＝1时，n＋3＝4，故左边应为1＋2＋3＋4. 2．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　) A．a1＋(k－1)d B． C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d C　解析：假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d. 3．用数学归纳法证明：＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________. ＋＋…＋＋>－ 解析：当n＝k＋1时，目标不等式为＋＋…＋＋>－. 4．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为　　　　　. 25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2　解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2. 5．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2， 那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1] ＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 这就是说，当n＝k＋1时等式成立． 根据(1)和(2)可知等式对任意n∈N*都成立． 6．证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋<2. 当n＝k＋1时， 1＋＋＋…＋＋ <2＋＝ <＝＝2. 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立． 7．用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)． 证明：(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立， 即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 则当n＝k＋1时， (k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3] ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)． 因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除， 所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立． 由(1)(2)知命题对一切n∈N*都成立． 1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是(B) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 2．(多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n，k∈N)的自然数都成立，则以下满足条件的k的值为(　　) A．1　　B．2 C．3　　D．4 CD　解析：取n＝1，则等号左边＝＝，等号右边＝＝，>不成立； 取n＝2，则等号左边＝＝，等号右边＝＝，>不成立； 取n＝3，则等号左边＝＝，等号右边＝＝，>成立； 取n＝4，则等号左边＝＝，等号右边＝＝，>成立． 下证：当n≥3时，>成立． 当n＝3，则等号左边＝＝，等号右边＝＝，>成立； 设当n＝k(k≥3)时，有>成立， 则当n＝k＋1时，有＝， 令t＝，则＝＝3－. 因为t>，所以>3－＝. 因为－＝>0，所以>＝， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立， 由数学归纳法可知，>对任意的n≥3都成立．故选CD． 3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳递推中的假设应写成(　　) A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确 B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确 C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确 D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确 B　解析：∵n为正奇数，∴在证明时，应假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B． 4．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么　(　　) A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝