(教用word)第5章 5.2 5.2.1 基本初等函数的导数-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 学习任务目标 1. 能根据导数的定义推导常用函数的导数. (数学运算) 2. 掌握基本初等函数的导数公式. (数学抽象) 3. 利用基本初等函数的导数公式解决有关问题. (数学运算) (1)已知函数y＝f (x)＝2ax＋4，若f ′(1)＝2，则a＝1. (2)曲线y＝－2x2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是0. 知识点一　几个常用函数的导数 函数 用定义法求导数 y＝f (x)＝c y′＝ ＝ ＝ ＝0 y＝f (x)＝x y′＝ ＝ ＝ ＝1 y＝f (x)＝ x2 y′＝ ＝ ＝ ＝2x y＝f (x) ＝x3 y′＝ ＝ ＝ ＝＝3x2 y＝f (x) ＝ y′＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ y＝f (x) ＝ y′＝ ＝ ＝ ＝ ＝ [微训练] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)若f (x)＝2，则f ′(x)＝2. (　　) ×　提示：f ′(x)＝0. (2)若f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x2. (　　) ×　提示：f ′(x)＝2x. (3)若f (x)＝x－1，则f ′(x)＝－. (√) 知识点二　基本初等函数的导数公式 (1)若f (x)＝c(c是常数)，则f ′(x)＝0. (2)若f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，则f ′(x)＝αxα－1. (3)若f (x)＝sin x，则f ′(x)＝cos x. (4)若f (x)＝cos x，则f ′(x)＝－sin x. (5)若f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f ′(x)＝axln a； 特别地，若f (x)＝ex，则f ′(x)＝ex. (6)若f (x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f ′(x)＝； 特别地，若f (x)＝ln x，则f ′(x)＝. [微训练] 1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)＝cos. (　　) ×　提示：因为sin＝(常数)，所以＝0. (2)(2x)′＝x2x－1. (　　) ×　提示：(2x)′＝2xln 2. (3)(ln x)′＝. (√) 2. (多选)下列求导正确的是(　　) A. 若y＝ln 2，则y′＝ B. 若y＝，则y′|x＝3＝－ C. 若y＝2x，则y′＝2xln 2 D. 若y＝log2x，则y′＝ BCD　解析：对于A，y′＝0，故A错误；对于B，因为y′＝－，所以y′|x＝3＝－，故B正确；显然CD正确. 故选BCD. 利用导数公式求函数的导数 下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数： f (x)＝x⇒f ′(x)＝1＝1x1－1； f (x)＝x2⇒f ′(x)＝2x＝2x2－1； f (x)＝x3⇒f ′(x)＝3x2＝3x3－1； f (x)＝＝x－1⇒f ′(x)＝－x－2＝－x－1－1； f (x)＝＝x⇒f ′(x)＝x＝x. 探究1：你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？ 提示：通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即(xα)′＝αxα－1. 探究2：如何求函数f (x)＝的导数？ 提示：首先把函数化为f (x)＝x，再利用幂函数的导数公式得f ′(x)＝x. 【例1】求下列函数的导数： (1)y＝的导数为________； －　解析：y′＝＝(x－4)′＝－4x－5＝－. (2)y＝7x的导数为________； 7xln 7　解析：y′＝(7x)′＝7xln 7. (3)y＝log5x的导数为________. 　解析：y′＝(log5x)′＝. 求下列函数的导数： (1)y＝x12的导数为________； (2)y＝的导数为________； (3)g(x)＝log3x的导数为________. (1)12x11　解析：y′＝(x12)′＝12x11. (2)x　解析：y′＝()′＝(x)′＝x. (3)　解析：g′(x)＝. 利用公式求函数在某点处的导数 【例2】(1)若函数y＝10x，则y′|x＝1等于(　　) A. B. 10 C. 10ln 10 D. C　解析：因为y′＝10xln 10，所以y′|x＝1＝10ln 10. (2)已知质点的运动方程是s＝sin t. ①求质点在t＝时的速度； ②求质点运动的加速度. 解：①因为v(t)＝s′(t)＝cos t， 所以v＝cos ＝， 即质点在t＝时的速度为. ②因为v(t)＝cos t， 所以加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t. 1. 求函数f (x)＝在(1，1)处的导数. 解：因为f ′(x)＝＝(x)′＝－x