(教用word)第5章 5.1 5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

第2课时　导数的几何意义 学习任务目标 1. 会求函数的导数. (数学抽象) 2. 利用导数的几何意义，求曲线上某点处的切线的斜率和切线的方程. (直观想象、数学运算) (1)函数在某一点的导数是一个常数. (2)已知f (x)＝x2－3x，则f ′(0)等于－3. 知识点一　导数的几何意义 (1)在曲线y＝f (x)上任取一点P(x，f (x))，如果当点P(x，f (x))沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0(x0，f (x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f (x)在点P0处的切线. (2)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f ′(x0). 知识点二　导函数的概念 当x变化时，y＝f ′(x)是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数). y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝. [微训练] 1. 已知函数y＝f (x)在x＝x0处的导数为1，则 ＝(　　) A. 0 B. C. 1 D. 3 B　解析：因为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数为1， 所以 ＝ ＝f ′(x0)＝. 故选B. 2. 曲线y＝3x2－4x在点(1，－1)处的切线方程为____________. y＝2x－3　解析：k＝f ′(1)＝ ＝2. 所以切线方程为y＋1＝2(x－1)，即y＝2x－3. 根据函数的图象描述曲线的变化情况 1. (多选)已知函数f (x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A. f (x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率 B. f (x)在a到b之间的平均变化率等于g(x)在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意x0∈(a，b)，函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 D. 存在x0∈(a，b)，使得函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 BD　解析：f (x)在a到b之间的平均变化率是， g(x)在a到b之间的平均变化率是. 又因为f (b)＝g(b)，f (a)＝g(a)， 所以＝，所以A错误，B正确. 易知函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)在x＝x0处的导数，即函数f (x)在x＝x0处的切线的斜率. 同理，函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x＝x0处的导数，即函数g(x)在该点处的切线的斜率. 由题中图象可知，x0∈(a，b)时，函数f (x)在x＝x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x＝x0处切线的斜率，也有可能小于g(x)在x＝x0处切线的斜率，故C错误，D正确. 2. 如图，函数y＝f (x)的图象，则该函数在 x＝1时的瞬时变化率大约是(　　) A. 0.1 B. 1.5 C. 4 D. 0.5 D　解析：函数在x＝1时的瞬时变化率为在x＝1时的切线的斜率，约为0.5，故选D. 求曲线的切线方程 如图，函数y＝f (x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为. 探究1：你能说出它的几何意义吗？ 提示：表示过A(x0，f (x0))和B(x0＋Δx，f (x0＋Δx))两点的直线的斜率. 探究2：当Δx变化时，直线如何变化？ 提示：直线AB绕点A转动. 探究3：当Δx→0时，直线变化到哪里？ 提示：直线过点A与曲线y＝f (x)相切的位置. 探究4：你能说出函数y＝f (x)在某点处的导数与该函数图象在该点处的切线的斜率有何关系吗？ 提示：函数y＝f (x)在x0处的导数f ′(x0)，是曲线y＝f (x)在点(x0 ，f (x0))处的切线的斜率，函数y＝f (x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. 【例1】(1)求曲线y＝x3＋2在点M(－1，1)处的切线方程. 解：因为点M(－1，1)恰好在曲线上，所以曲线在点M处的切线的斜率就等于函数y＝x3＋2在x＝－1处的导数. 又y′|x＝－1 ＝ ＝ ＝[(Δx)2－3Δx＋3]＝3， 所以切线的斜率为3. 由点斜式可得切线方程为y－1＝3(x＋1)， 即3x－y＋4＝0. (2)求经过点(2，0)，且与曲线y＝相切的直线方程. 解：经验证点(2，0)不在曲线y＝上，设切点为P(x0，y0). 由y′|＝ ＝ ＝ ＝－， 得所求直线方程为y－y0＝－(x－x0). 因为点(2，0)在切线上， 所以xy0＝2－x0. 又点P(x0，y0)在曲线y＝上，所以x0y0＝1. 联立可解得x0＝1，y0＝1， 故所求直线方程为x＋y－2＝0. 【类