(教用word)第4章 4.2 4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

第2课时　等差数列前n项和的应用 学习任务目标 1. 会应用等差数列的前n项和解决实际问题. 2. 会用裂项相消法求和. (数学运算) (1)等差数列{an}中，已知a4＝5，则S7＝35. (2)等差数列{an}中，已知S5＝25，S10＝125，则公差d＝3. 知识点　等差数列前n项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (2)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形： ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和. ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. [微训练] 1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)等差数列的前n项和Sn一定是关于n的二次函数. (×) (2)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值. (√) (3)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An，Bn，则一定有＝. (×) 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn. 若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________. 0　－10　解析：a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，即a1＋2d＝－2，解得a1＝－4，d＝1，所以a5＝a1＋4d＝0，Sn＝na1＋d＝. 当n＝4或5时，Sn最小，为－10. 等差数列前n项和的实际应用 提示：在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢. 探究1：相逢时两马共行多少里？ 提示：1 125×2＝2 250(里) 探究2：从出发到二马相逢共多少日？ 提示：由题可知，良马每日行程an构成一个首项为103，公差13的等差数列， 驽马每日行程bn构成一个首项为97，公差为－0.5的等差数列， 则an＝103＋13(n－1)＝13n＋90，bn＝97－0.5(n－1)＝97.5－0.5n， 则数列{an}与数列{bn}的前n项和为1 125×2＝2 250. 又因为数列{an}的前n项和为 ×(103＋13n＋90)＝×(193＋13n)， 数列{bn}的前n项和为 ×(97＋97.5－0.5n)＝×， 所以×(193＋13n)＋×＝2 250， 整理得：25n2＋775n－9 000＝0， 即n2＋31n－360＝0， 解得n＝9或n＝－40(舍)，即九日相逢. 1. 为了参加学校的长跑比赛，高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划. 已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离. 若小李同学前三天共跑了3 600米，最后三天共跑了10 800米，则这15天小李同学总共跑的路程为(　　) A. 34 000米 B. 36 000米 C. 38 000米 D. 40 000米 B　解析：根据题意，知小李同学每天跑步的距离为等差数列，设为{an}. a1＋a2＋a3＝3a2＝3 600，故a2＝1 200；a13＋a14＋a15＝3a14＝10 800，故a14＝3 600. 所以S15＝(a1＋a15)×15＝(a2＋a14)×15＝36 000. 故选B. 2. 在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列. 已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有(　　) A. 300个 B. 320个 C. 340个 D. 360个 B　解析：由题意，此商家参展的苹果构成等差数列{an}，其中n＝16，a8＋a9＝40，所以S16＝＝＝＝320. 故选B. 3. 一个剧场共有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则该剧场的总座位数为________. 820　解析：因为剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，所以20排座位组成以60为首项，－2为公差的等差数列. 所以S20＝20×60＋×(－2)＝820. 等差数列前n项和的最值问题 1. 已知等差数列{an}的前5项依次是：－8，－5，－2，1，4. 2. 已知等差数列{bn}中，b1＝10，d＝－3. 探究1：数列{an}的前n项和Sn有最大值还是最小值，n为多少时取得？ 提示：当n＝3时，Sn取得最小值. 探究2：数列{bn}的前n项和Sn有最大值还是最小值，n为多少时取得？ 提示：当n＝4时，Sn取得最大值. 探究3：你知道等差数列前n项和Sn取得最值的原因吗？ 提示：等差数列前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n，是关于n的二次函数形式. 【例1】等差数列{an}