(教用word)第4章 4.2 4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和 学习任务目标 1. 掌握等差数列前n项和公式的推导方法. (逻辑推理) 2. 掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题. (数学运算) 3. 掌握等差数列的前n项和的简单性质. (数学运算) (1)等差数列{an}中，若a5＝18，a11＝42，则公差d＝4. (2)等差数列{an}中，若a3＋a7＝20，则a5＝10. 知识点一　等差数列的前n项和 Sn＝＝na1＋. [微训练] 1. 在等差数列{an}中，a1＝1，a30＝30，S30的值为(　　) A. 456 B. 465 C. 930 D. 654 B　解析：S30＝＝＝465. 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn. 若a6＝S3＝12，则数列{an}的通项公式an＝________. 2n　解析：由题知 解得 所以an＝2＋(n－1)×2＝2n. 知识点二　等差数列前n项和的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列也是等差数列，且公差为. (2)设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. [微训练] 1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S6，S12，S18也成等差数列. (×) (2)若等差数列{an}共有20项，则＝. (×) 2. 在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，S2＝4，S4＝9，则S6＝________. 15　解析：因为S2，S4－S2，S6－S4成等差数列， 所以4＋(S6－9)＝2×(9－4)， 解得S6＝15. 等差数列的前n项和公式 1. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S9＝________. 81　解析：设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2. 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81. 2. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________. 15　解析：设等差数列{an}的公差为d， 则解得 所以a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15. 3. 在等差数列{an}中，若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，则公差d＝________. －171　解析：由Sn＝＝＝－1 022，解得n＝4. 又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171. 等差数列前n项和性质的应用 提示：北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块. 已知每层环数相同，且下层比中层多729块. 探究1：从内到外每环上扇面形石板数之间能构成等差数列吗？ 提示：能，且公差d＝9，a1＝9. 探究2：每一层中有多少环扇面形石板？ 提示：设每一层有n环，由题意可知从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数列，且公差d＝9，a1＝9，由等差数列的性质可得Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则n2d＝729，解得n＝9，即每一层中有9环扇面形石板. 探究3：下层最后一环有多少块扇面形石板？ 提示：由探究1，2知，每环石板数之间构成等差数列，公差d＝9，a1＝9，且下层最后一环为第27项，所以an＝9＋(n－1)×9＝9n，a27＝9×27＝243，即下层最后一环有243块扇面形石板. 【例1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1 220，求S30. 解：(方法一)设数列{an}的公差为d， 由已知，得 解得 所以S30＝30×4＋×30×29×6＝2 730. (方法二)因为数列{an}为等差数列， 所以S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列， 所以2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， 即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220， 所以S30＝2 730. (方法三)设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 由题意，得解得 所以Sn＝3n2＋n. 所以S30＝3×900＋30＝2 730. (方法四)由Sn＝na1＋d， 得＝a1＋(n－1)， 所以是以a1为首项，为公差的等差数列， 所以，，成等差数列， 所以＋＝2×， 所以S30＝30×＝30×(122－31)＝2 730. 【例2】项数为奇数的等差数列{an}，奇数项之和为44，偶数项之