(教用word)第4章 4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

第2课时　数列的递推公式及前n项和 学习任务目标 1. 会判断一个实数是否为某个数列的项. (数学抽象) 2. 掌握数列的递推公式及应用. (逻辑推理) 3. 理解Sn与an的关系，能运用这个关系解决相关问题. (数学运算) (1)已知函数f (x)＝－x2＋2x－1的值域为A，则 2∉A，－1∈A. (填“∈”或“”) (2)已知f (x)＝则f (－2)＝1. 知识点一　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. [微训练] 1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)递推公式也是表示数列的一种方法. (√) (2)所有数列都有递推公式. (×) 2. 数列，，，，…的递推公式可以是(　　) A. an＝(n∈N*) B. an＝(n∈N*) C. an＋1＝an(n∈N*) D. an＋1＝2an(n∈N*) C　解析：因为后一项是前一项的，所以an＋1＝an(n∈N*). 知识点二　数列的前n项和 (1)定义：数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2)前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. (3)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝. [微训练] 1. 若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则a1＝________，a2＝________. －9　－7　解析：因为Sn＝n2－10n，所以a1＝S1＝12－10×1＝－9，a2＝S2－S1＝－16－(－9)＝－7. 2. 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为________. an＝　解析：an＝ 而S1＝1－2＋2＝1， 当n≥2时，Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2－2＝2n－3. 当n＝1时，不满足上式. 故an＝ 数列通项公式的应用 1. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n－8. (1)数列中为负数的项的个数是________； (2)该数列的最小项为________. (1)7　(2)－20　解析：(1)令an<0，即n2－7n－8<0，得－1<n<8. 又n∈N*，所以n＝1，2，3，…，7， 数列从第1项至第7项均为负数，共7项. (2)(方法一)an＝n2－7n－8是关于n的二次函数，图象的对称轴方程为n＝＝3.5， 所以当1≤n≤3时，{an}单调递减； 当n≥4时，{an}单调递增. 所以当n＝3或n＝4时，a3，a4是数列中的最小项， 且最小项a3＝a4＝－20. (方法二)设an(n≥2)为数列{an}的最小项. 则 即 解得3≤n≤4. 故当n＝3或n＝4时，a3，a4是数列中的最小项，且最小项a3＝a4＝－20. 2. 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)这个数列的第4项是________，第6项是________. (2)－49是该数列的第________项. (3)68是该数列的项吗？ 解：(1)根据an＝3n2－28n， 得a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n2－28n＝－49， 即3n2－28n＋49＝0，解得n＝7或n＝(舍). 所以－49是该数列的第7项. (3)令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， 解得n＝－2或n＝，均不是正整数. 所以68不是数列{an}中的项. 数列的递推公式 提示：“贪吃蛇”的游戏中，设定贪吃蛇从原点出发，沿着如图所示的逆时针方向螺旋式前进，不停地吞食沿途的每一个格点(不包括原点). 已知贪吃蛇的初始长为0，并且每吞食一个格点，长度就增加1个单位，如它的头部到达点P1(1，1)，其长度增加到2，它的头部到达点P2(2，2)，其长度增加到12. 探究1：当贪食蛇的头部到达点P3(3，3)时，它的长度增加到多少？ 提示：设贪吃蛇的头部到达点Pn(n，n)时的长度为an，则a1＝2，a2＝a1＋10＝12，a3＝a2＋18＝30. 探究2：当贪食蛇的头部到达点P9(9，9)时，它的长度增加到多少？ 提示：由探究1，a1＝2， a2＝a1＋10，即a2－a1＝10， a3＝a2＋18，即a3－a2＝18， …… 以此类推：an－an－1＝8n－6(n≥2)， 则有an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝4n2－2n， 当n＝9时，有a9＝306. 【例1】(1)已知数列{an}满足关系anan＋