(教用word)第4章 4.1 第1课时 数列的概念-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念 学习任务目标 1. 理解数列的概念，能根据所给的一列数，归纳总结数列的通项公式. (逻辑推理) 2. 理解数列的函数特性，会画数列的图象，会根据数列的通项公式判断数列的单调性. (1)正整数集用符号N*表示. (2)函数的表示方法有：列表法、图象法、解析法. (3)按规律填空： ①2，4，6，8，10； ②1，4，9，16，25. 知识点一　数列的概念及分类 (1)数列：一般地，按照确定的顺序排列的一列数. (2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示. 其中第1项也叫做首项. (3)数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}. (4)数列的分类： ①项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列. ②从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列. 特别地，各项都相等的数列叫做常数列. (5)数列与函数的关系：数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f (n). 另一方面，对于函数 y＝f (x)，如果f (n)(n∈N*)有意义，那么f (1)，f (2)，…，f (n)，…构成了一个数列{f (n)}. [微训练] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)数列中的项互换次序后还是原来的数列. (×) (2)所有的数列都可分为递增数列和递减数列两类. (×) (3){an}与an的意义一样，都表示数列. (×) 知识点二　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项. [微训练] 1. 已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·(n2－1)，则a6＝(　　) A. 35 B. －11 C. －35 D. 11 A　解析：a6＝(－1)6×(62－1)＝35. 故选A. 2. 已知数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则a2n＝________，＝________. 3－4n　　解析：因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝. 数列的概念 1. 下列各式是数列的是________；是有穷数列的是________；是无穷数列的是________. (1){1，3，5，7，9}；(2)4，3，2，1，0；(3)所有无理数；(4)1，2，3，4，…；(5)2，2，2，2，2. (2)(4)(5)　(2)(5)　(4)　解析：(1)是集合，不是数列；(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来；(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列. 2. 下列说法正确的是(　　) A. 1，2，3，4，…，n是无穷数列 B. 数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列 C. 同一个数在数列中不能重复出现 D. 数列{2n＋1}的第6项是13 D　解析：A错误，数列1，2，…，n，共n项，是有穷数列. B错误，数列中的项是有次序的. C错误，数列中的数可以重复出现. D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13. 数列的通项公式 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数. 他们研究过如图(1)所示的数称为三角形数，如图(2)所示的数称为正方形数. 探究1：三角形数与正方形数所构成的数列的第5项分别是多少？ 提示：15，25 探究2：你能写出三角形数与正方形数构成的数列的通项公式吗？ 提示：三角形数：an＝；正方形数：an＝n2. 探究3：在数①289，②1 024，③1 225，④1 378中，既是三角形数又是正方形数的是哪个？ 提示：因为1 225＝352＝，所以1 225既是三角形数又是正方形数. 【例1】写出下列数列{an}的一个通项公式： (1)，2，，8，，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)，，，，…； (5)－，，－，，…； (6)4，0，4，0，4，0，…. 解：(1)先将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝. (2)数列各项的绝对值分别为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式为An＝2n－1. 考虑(－1)n＋1具有转换符号的作