第三讲 椭圆弦的中点的性质3(需设中点坐标)讲义-2023届高考数学二轮专题之椭圆小题突破

2023年高考数学复习 椭圆小题突破 椭圆弦的中点的性质 椭圆弦的中点的性质3――需设中点坐标 知识点：椭圆中心弦（直径）的性质 1． 设直线l与椭圆交于A、B两点，点M是线段AB的中点且AB、OM的斜率存在，则. 2． 设直线l与椭圆交于A、B两点，点M是线段AB的中点且AB、OM的斜率存在，则. 3．（1）（2018全国Ⅲ20） 已知斜率为k的直线l与椭圆C: 交于A,B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)． （1）证明：k<-； 证法一：设线法 设点A，，直线AB的方程为y=kx+t. 由，得(3+4k2)， △＝64(3+4k2)，（※） +，， =1，得-t, 代入（※）得()2-3-4k2<0, 即-k2<0, 即16k4+8k2-3>0, 即(4k2-1)(4k2+3)>0, 即4k2-1>0, k<-. 又M(1,m)(m>0)在直线AB：y=kx+t上，所以m=t+k>0. 而-t 所以k<-. 证法二：设点法 设，， 又点，在椭圆上， 则，， 两式相减可得：， 又， 则， 又点，在椭圆内， 则， 则， 所以， （2）已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】直线，即为，可得直线恒过定点，圆的圆心为，半径为1，且C，D为直径的端点， 由，可得的中点为，设，， 则，，两式相减可得， 由，，可得，由，即有， 则椭圆的离心率． （3）已知F是椭圆C： ，其中椭圆的右焦点，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且　（其中λ＞1）．则λ＝　． 解：设由，得则 由焦半径的角参形式得. （4）以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，，若，，则直线的斜率为　　　　　． A． B． C． D． 【答案】A 法一：设线法 设椭圆的方程分别为，，由可知， 直线的斜率一定存在，故设直线的方程为. 联立得， 故，； 联立得， 则，. 因为，所以， 所以. 又，所以， 所以，所以，. 故选：A. 法二：设点法 设 则 由即 即 得 所以，. （5）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的标准方程为　　　　． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得直线l的与x轴的交点横坐标为,∴椭圆的半焦距, 又∵，∴M的横坐标为,代入直线方程得到M的纵坐标为， ∴OM的斜率, 由于直线l的斜率, , ,,∴, ∴,∴, 逐项检验，即可判定只有C符合， 故选：C. （6）已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为　　　　　． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，，由题意得，，两式相减，得，因为为线段的中点，且直线的倾斜角为，所以．设，则，过作轴，垂足为，则，，由题易知位于第二象限，所以，所以，得，所以，所以． 故选：B （7）已知斜率存在的直线l交椭圆C：于A，B两点，P是弦AB的中点，点，且，，则直线MP的斜率为__________． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设，则， 由，得即，① 由A，B在椭圆C上得: 两式相减得， 所以，② 联立①②得，解得. 因为，即， 所以，即， 所以直线MP的斜率为. 故选C. （8）过椭圆左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆交于、两点，其中为线段的中点，线段的长为，则椭圆的离心率为__________． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设、、， 由题意得，， 两式相减，得， 因为为线段的中点，且直线的倾斜角为，所以． 因为，直线的倾斜角为，， 易知点在第二象限，则，， 所以，所以，得， 所以，即，所以． 故选：D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $