第05讲 - 二次函数解析式图形存在性问题 　讲义　2022—2023学年北师大版数学九年级下册

第05讲：二次函数图形存在性问题 ( 考点精讲 ) 考点一 二次函数与等腰三角形 例1 如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0． （1）求A、B两点的横坐标； （2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值； 考点二 二次函数与直角三角形 例1 如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP． ①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标． ②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请写出所有符合条件点M的坐标． 考点三 二次函数与等腰直角三角形 例1 如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C． （1）求这个抛物线的函数表达式． （3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点四 二次函数与等边三角形 例1 如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点． （1）求二次函数的表达式； （2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标； 考点五 二次函数与平行四边形 例1 已知：如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3BO． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点六 二次函数与菱形 例1 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A （2，0），B两点，与y轴交于点C （0，6），点E为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； （2）若将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点分别是点C'、E'，当以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式， 考点七 二次函数与正方形 例1 如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）． （1）请求出A、B、C三点的坐标； （2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式． 考点八 二次函数与矩形 例1 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣6经过点A（﹣3，0）和点（﹣1，0），顶点为D． （1）求抛物线C1的函数表达式及点D的坐标； （2）将抛物线C1绕坐标轴上一点P旋转180°得到抛物线C2，点A、D的对应点分别为A'、D'，是否存在以AD为边，且以A、D、A'、D'为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出抛物线C2的函数表达式，若不存在，请说明理由． ( 课堂达标 ) 例1. 如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； 例2. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D。 （1） 求抛物线的函数关系式； （2）在直线AC上是否存在一点M，使△AMN为直角三角形，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例3. 已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 例4.若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，其图象的顶点为点M，O是坐标原点． （1）