7.1.2 复数的几何意义（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

7.1.2　复数的几何意义 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系． 2.理解共轭复数的概念，并会求共轭复数． 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题． 重点难点 重点：掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 难点：可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. (一)复数的几何意义 1．复平面 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 . 1．理解复数与复平面内的点一一对应的注意点 (1)复数的实质是有序实数对．复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点为原点，否则不能建立一一对应关系． (2)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. (3)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． (4)复数z＝a＋bi中的z，书写时应小写；复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时应大写． 2．如果Z是复平面内表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)的点，则 (1)当a>0，b>0时，点Z位于第一象限； 当a<0，b>0时，点Z位于第二象限； 当a<0，b<0时，点Z位于第三象限； 当a>0，b<0时，点Z位于第四象限． (2)当a＝0时，点Z在虚轴上； 当b＝0时，点Z在实轴上． 1．已知复数z＝－i，则复平面内对应点Z的坐标为(　 ) A．(0，－1) B．(－1,0) C．(0,0) D．(－1，－1) 解析：选A　复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．故选A. 2．若＝(0，－3)，则对应的复数为(　 ) A．0 B．－3 C．－3i D．3 解析：选C　由复数的几何意义可知对应的复数为－3i.故选C. 3．若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，那么(　 ) A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1 C．a＝2或a＝0 D．a＝0 解析：选C　由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2. (二)复数的模及共轭复数 1．复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝. (4)模的几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点z(a，b)到原点(0,0)的距离． 对复数模的三点说明 (1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小． (2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小． (3)几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离．|z1－z2|表示复数z1, z2对应的点之间的距离． 2．共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. (3)性质：①()＝z.②实数的共轭复数是它本身，即＝z⇔z∈R. 1．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|是(　 ) A．5 B. C．6 D. 解析：选D　|z|＝＝. 2．若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数等于(　 ) A．－2＋i B．－2－i C．2＋i D．2－i 解析：选B　因为复数z＝－2＋i，所以复数z的共轭复数＝－2－i. 3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为________． 解析：依题意可得 ＝2，解得m＝1或3. 答案：1或3 —————————————————————————————————— 复数与复平面内的点的关系 ——————————————————————————————————————— [典例]　实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点： (1)位于第二象限； (2)位于实轴上方； (3)位于直线y＝x上． [解]　根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)． (1)由点Z位于第二象限得解得－2<a<1. 故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．