6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6．3.5　平面向量数量积的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． 2.能利用坐标求向量的模、夹角，能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件，并能应用它们解决相关问题． 重点难点 重点：掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算． 难点：运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题. 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有： 坐标表示 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝或|a|2＝x12＋y12 两点间 距离公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则||＝ 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 夹角 cos θ＝＝ (1)公式a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，两者可以相互推导． 在求两向量的数量积时，若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|·cos θ(θ为a与b的夹角)求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． (2)向量的模的坐标运算的实质 向量的模即向量的长度，其大小为平面直角坐标系中两点间的距离，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝，即||为A，B两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． (3)与向量a同向的单位向量的坐标表示 因为与向量a同向的单位向量a0＝，若a＝(x，y)，则|a|＝，所以a0＝＝(x，y)＝，此式为与向量a＝(x，y)同向的单位向量的坐标表示． 1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b＝(　 ) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选A　a·b＝(1,1)·(－1,2)＝1×(－1)＋1×2＝1. 2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又0≤θ≤π，∴θ＝. 3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝________. 解析：因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝. 答案： —————————————————————————————————— 平面向量数量积的坐标运算 —————————————————————————————————————— [典例]　(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　 ) A．12　　　　　　　 B．0 C．－3 D．－11 (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________. [解析]　(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. (2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)， 因为＝2，所以F. 所以＝(2,1)， ＝－(2,0)＝， 所以·＝(2,1)× ＝2×＋1×2＝. [答案]　(1)C　(2) 数量积坐标运算的技巧 (1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．　　 [对点训练] 1．已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　 ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选C　由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4. 2．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c. 解：(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，解得λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)∵b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，a·b＝10， ∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b )c＝10(2，－1)＝(20，－10)． ——————————————————————————————————— 向量模的问题 —————————————————————