6.2.3 向量的数乘运算（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.3　向量的数乘运算 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义． 2.理解两个平面向量共线的含义． 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 重点 难点 重点：理解向量的数乘运算与共线向量定理． 难点：共线向量定理的应用. (一)向量的数乘运算 1．向量的数乘运算 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方 向 λ＞0 λa的方向与a的方向相同 λ＝0 λa＝0 λ＜0 λa的方向与a的方向相反 2．向量数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. (1)λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义． (2)对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量． (3)向量的数乘λa的几何意义 ①当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长了|λ|倍． ②当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短了|λ|倍． 1．下列运算正确的个数是(　 ) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；　 ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0　　　　　　 B．1 C．2 D．3 答案：C 2．下列各式中不表示向量的是(　 ) A．0·a B．a＋3b C．|3a| D.e(x，y∈R，且x≠y) 答案：C 3．化简：2(3a＋4b)－8a＝________. 答案：－2a＋8b (二)共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (1)定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.此时定理都不成立． (2)定理本身包含了正反两个方面：若存在一实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa. (3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0. (4)该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一非零向量线性表示，可以用来求参数λ，它是轴上向量坐标化的依据． 1.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　 ) A.(a－b)　　 B．－(a－b) C.(a＋b) D．－(a＋b) 答案：C 2．若向量a是非零向量，则向量与向量a有什么关系？ 提示：∵向量a是非零向量，∴|a|>0.根据向量的数乘的几何意义知：是与向量a同向的单位向量． (对应学生用书P) ————————————————————————————————— 向量的线性运算 ————————————————————————————————————— [典例]　化简下列各式： (1)(6a＋b)－9； (2)2； (3)(5a－4b＋c)－2(a－3b＋c)－7a. [解]　(1)原式＝6a＋b－9a－3b＝－3a－2b. (2)原式＝2－4a－3b＝4a＋3b－4a－3b＝0. (3)原式＝5a－4b＋c－2a＋6b－2c－7a＝－4a＋2b－c. 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．　　 [对点训练] 1．计算： (1)8(a＋c)＋7(a－c)－c； (2)(a＋9b－2c)＋(b＋2c)； (3)a－[(2a－b)－a]． 解：(1)原式＝8a＋8c＋7a－7c－c ＝(8＋7)a＋(8－7－1)c＝15a. (2)原式＝a＋9b－2c＋b＋2c ＝a＋(9＋1)b＋(－2＋2)c＝a＋10b. (3)原式＝a－(2