5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第二课时）课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第二课时） 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 学习目标 1.巩固“利用导数求函数的极值的方法”； 2. 求函数的最值． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一 新课引入 如图： f (x)在区间[a,b]内的极值分别是？极大值一定大于极小值吗？f (x)在区间[a,b]内有最大函数值、最小函数值吗?如果有，它是极值吗？ x O y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 二 讲授 新课 函数最大值和最小值的概念：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值； 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最小值 . 如上图所示：f(x)的最大值：f(a) ； f(x)的最小值：f(x3)跟踪练习： x O y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 x y O a b y=f(x) x y O a b x2 x1 x3 x4 x5 y=g(x) 最大值：f(b); 最小值：f(a) 最大值：f(x3); 最小值：f(x4) 观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 一般地： 如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值. 小结：闭区间上函数最值需注意： 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个； . 3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得 ；有最值未必有极值； 极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. 4.求闭区间上函数最值时，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值. 5.闭区间上函数同时有最大值和最小值. 问题：给定函数的区间不是闭区间，有最值吗？ 当函数在区间的端点处无定义时，可能无法求得最值.如上图，函数有最大值，但无最小值.即有单一最值 O x y a b y=f(x) .例1 求 f(x)= x3 -4x+4在[0,3]上最大值和最小值分析 f′(x)=x2-4 =(x-2)(x+2) 令f′(x)=0 ，得x=-2 或 x=2 列表如下： 所以f(x)在[0,3]上最大值和最小值分别是4、- x 0 (0.2) 2 (2,3) 3 f′(x) - 0 + f(x) 4 单调减 极小值- 单调增 1 例2 当x>0时，证明 1-≤lnx 解：将不等式 1-≤lnx ,转化为 -1+ lnx≥0 设 f(x)= -1+ lnx ,f′(x)=- = , 令f′(x)=0 ，得x=1 . 列表如右： 所以,当x=1时, f(x)取得最小值.故当x>0时 1-≤lnx . x (0, 1) 1 ( 1, +∞) f '(x) - 0 + f (x) 单调减 极小值0 单调增 三 课堂练习 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (1) f (x)=6x2-x-2，x∈[0,2]; (2) f (x)=6+12x－x3.x∈[,3] 答案： 1.当x=2时，函数f(x)在[0,2]上取得最大值20， 当x= 时，函数f(x)在[0,2]上取得最小值- . 2.当x=2时，函数f(x)在[-,3]上取得最大