2.1 两条直线的位置关系-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(北师大版)

2.1 两条直线的位置关系 知识点一 余角、补角、对顶角的概念和性质 （1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角； （2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角． （3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等． （4）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。（两条相交线可组成4对邻补角） （5）对顶角的概念：两个角只有一个公共顶点，一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线。（两条相交线组成2对对顶角） （6）对顶角的性质：对顶角相等（利用邻补角的性质可证明） 知识点二 垂线的概念和性质 （1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实际上，四个角都为直角） （2）如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD （3）垂线的性质：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直 注：（1）垂线的性质中，有2点需要格外 ：①必须强调在同一平面内；②点可在直线外，也可在直线上。 （2）同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。 （4）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短） （5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 题型一 对顶角与邻补角的性质 【例题1】（2022春•广西月考）下面四个图形中与是对顶角的是　　 A． B． C． D． 解题技巧提炼 解题关键是掌握对顶角、邻补角的定义 【变式1-1】（2021秋•儋州校级期末）下列选项中，和是对顶角的是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】（2022春•江汉区校级月考）下面四个图形中，和是对顶角的是　　 A． B． C． D． 【变式1-3】（2022秋•南岗区校级月考）如图，共有对顶角　　 A．3对 B．6对 C．12对 D．16对 【变式1-4】（2022•邹城市校级开学）如图，直线，交于点，则图中互为补角的角对数有　　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式1-5】（2021秋•玄武区期末）若与互余，与互补，与是对顶角，则与的数量关系是　　 A． B． C． D． 题型二 垂线的唯一性及画法 【例题2】（2022•蓬江区校级开学）如图所示，直线，相交于点，于点，平分，，则下列结论中不正确的是　　 A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 解题技巧提炼 熟练掌握各种角的定义是解题的关键 【变式2-1】（2022春•新乐市校级月考）如图，在直线外任取一点，过点画直线的垂线，可画出的垂线有　　 A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【变式2-2】（2022春•南沙区期末）过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是　　 A． B． C． D． 【变式2-3】如图所示，过点画直线的垂线和斜线，下列说法中正确的是　　 A．垂线和斜线都只能画一条 B．垂线只能画一条，斜线可画无数条 C．垂线能画两条，斜线可画无数条 D．垂线和斜线均可画无数条 【变式2-4】（2021春•丰都县期末）在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2-5】（2022•藁城区二模）如图，经过点的直线，，，中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的直线是　　 A． B． C． D． 题型三 垂线段最短 【例题3】（2021秋•绿园区期末）如图，将军要从村庄去村外的河边饮马，有三条路、、可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是　　 A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 解题技巧提炼 解题关键是熟悉垂线段最短的知识点 【变式3-1】（2022春•新乐市校级月考）如图，有三条公路，其中与垂直，嘉嘉和淇淇分别从，处同时出发，沿，匀速骑车到城．若两人同时到达，则下列判断正确的是　　 A．嘉嘉的骑车速度更快 B．淇淇的骑车速度更快 C．两人的骑车速度一样快 D．无法判断两人骑车速度的快慢 【变式3-2】（2022春•东莞市校级期中）如图，点到直线公路共有四条路，若要从点到公路，用相同速度行走，最快到达的路径是　　 A． B． C． D． 【变式3-3】（2022春•思明区校级期中）某工程队计划把河水引到水池中，他们先过点作，垂足为，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是　　 A．两点之间线段最短 B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．经过