7.3.1 离散型随机变量的均值（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．3　离散型随机变量的数字特征 7．3.1　离散型随机变量的均值 课程标准 核心素养目标 1．通过具体实例，理解离散型随机变量的均值概念及性质． 2．能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题． 1．理解离散型随机变量的均值．(数学抽象) 2．会根据离散型随机变量的分布列求其均值．(数学运算) 3．掌握离散型随机变量均值的性质．(数学抽象) 4．能利用离散型随机变量的均值解决一些简单问题．(数学建模) [对应学生用书P42] 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．由定义可知离散型随机变量的均值与它的本身有相同的单位． [微练1]已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 P 则X的数学期望E(X)＝(　　) A．1 B．2 C． D．3 A　解析：E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 2．两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p(p为成功概率). [微练2]篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知某运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________． 0．8　解析：由题意知，X服从两点分布，所以E(X)＝1×0.8＝0.8. 3．离散型随机变量均值的性质 如果X是一个离散型随机变量，Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b． [微练3]设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________． 35　解析：E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35. [对应学生用书P43] 知识点一 求离散型随机变量的均值 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样．购买一瓶，若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及均值E(ξ). 解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A，B，C，且A，B，C相互独立，那么 P(A)＝P(B)＝P(C)＝. P(A )＝P(A)P()P()＝××＝. 故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是. (2)ξ的可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝0)＝P( )＝P()P()P()＝××＝， P(ξ＝1)＝P(A )＋P( B)＋P( C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝××＋××＋××＝， P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C)＝××＋××＋××＝， P(ξ＝3)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝. 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 求离散型随机变量均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E(X). 其中准确写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键． 盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值． 解：X可取的值为1，2，3，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 故E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 知识点二 离散型随机变量均值公式及性质的应用 已知随机变量X的分布列如下表： X －2 －1 0 1 2 P m 求E(X). 解：由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝.∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. [探究1]本例条件不变，若Y＝2X－3，求E(Y). 解：方法一　由E(aX＋b)＝aE(X)＋b，E(X)＝－，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－)－3＝－. 方法二　因为Y＝2X－3，所以Y的分布列如下表： Y －7 －5 －3