7.2 离散型随机变量及其分布列（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．2　离散型随机变量及其分布列 课程标准 核心素养目标 在具体问题分析中，理解取有限个值的离散型随机变量的概念和分布列的概念． 1．了解随机变量的意义，理解随机变量的概念．(数学抽象) 2．会求简单的离散型随机变量的概率分布．(数学运算) 3．掌握离散型随机变量分布列的性质．(数学抽象) 4．理解两点分布，并能进行简单应用．(数学运算) [对应学生用书P37] 1．离散型随机变量的概念 (1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值． (1)随机变量的取值是将随机试验的结果数量化； (2)随机变量的取值对应于随机试验的某一次随机结果； (3)有些随机试验的结果不具有数量关系，但我们仍可以用数量表示它； (4)对随机变量的所有可能取值都要明确，不能重复也不能遗漏． 2．离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示． (2)离散型随机变量分布列的性质 ①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1． 随机变量与函数的关系 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域． [微练1]设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1，2，3，则a的值为(　　) A．1 B． C． D． C　解析：由分布列的性质，得a(＋＋)＝1，∴a＝. 3．两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．实际上，X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1). [微练2]设某试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝______． 　解析：由题意知ξ＝0表示试验失败，ξ＝1表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p，ξ的分布列为 ξ 0 1 P p 2p 由p＋2p＝1，得p＝，故P(ξ＝0)＝. [对应学生用书P38] 知识点一 离散型随机变量 考向一：离散型随机变量的概念 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天经过的车辆数X； (2)某超市5月份每天的销售额； (3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； (4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ. 解：(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量． (2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量． (3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． (4)水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举，不是离散型随机变量． 判断随机变量是否为离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的试验结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度． 解：(1)只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片可能的号数可以一一列出，是离散型随机变量． (2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球．即白球的个数可以一一列出，是离散型随机变量． (3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量． 考向二：离散型随机变量的取值 写出下列随机变量的取值范围． (1)张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗为ξ； (2)抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现向上的点数为ξ； (3)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现