18.2.1矩形的性质（知识精讲）2022—2023学年人教版数学八年级下册

第08讲：18.2.1矩形的性质 素养目标 1．掌握矩形的定义及性质，会用矩形的性质解决简单的问题. 2．理解并掌握直角三角形斜边上的中线的性质，并能运用这一性质解决问题． 知识梳理 1．菱形的定义和性质 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【特别提醒】 矩形必须具备两个条件：（1）它是一个平行四边形；（2）它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. 由矩形的定义知：矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法. （2）性质 图形 性质 几何语言 矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90° 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AO=OC=OB=OD 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【特别提醒】 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成四个面积相等的等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常转化成直角三角形或等腰三角形来解决. 2．直角三角形斜边上的中线的性质 图形 性质 几何语言 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半. 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，AD=BD， ∴CDAB(或CD=AD=BDAB). 【特别提醒】 （1）直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形. （2）此性质与“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”都是解决线段倍分关系的重要依据. 考点精讲 模块一：矩形的定义和性质 题型1：矩形的定义在矩形判定中的应用 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A、D作AE//BC、DE//AB，AE与DE相交于点E，连接CE．求证：四边形ADCE是矩形． 【练一练】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　) A．AB＝CD B．AD＝BC C．∠AOB＝90° D．∠ABC＝90° 题型2：利用矩形的边角性质的应用 【典例1】（2022•苏州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F． （1）求证：△DAF≌△ECF； （2）若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数． 【练一练】（2022秋•崇义县月考）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠CAE＝15°，则∠AEO的度数为 　 　． 题型3：利用矩形的边角性质求面积 【典例】（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD． （1）求证：DF＝CF； （2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积． 【练一练】（2021春•丰都县期末）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，AB＝6，AD＝8，M点是AD的中点，那么阴影部分的面积是 　 　． 题型4：利用矩形的性质解答折叠问题 【典例】（2022秋•碑林区校级月考）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E． （1）求证：△BED是等腰三角形； （2）若AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 【练一练】（2022•丽水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF． （1）求证：△PDE≌△CDF； （2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长． 模块二：直角三角形斜边上的中线的性质 【典例】（2022春•盱眙县期中）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点． （1）求证：DE⊥MN； （2）若BC＝10，MN＝6，求DE． 【练一练】（2022•盐城一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BE＝4，则AC＝　 　． 课堂集训 1．下列说法不正确的是（　　） A．矩形是平行四边形 B．矩形不一定是平行四边形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 2．（2022•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A．α﹣90° B．α﹣45° C．180°﹣α D．270°﹣α 第2题图 第3题图 第4题图 3．（2022•蓝田县一