18.1.1平行四边形的性质（知识精讲）2022—2023学年人教版数学八年级下册

第06讲：18.1.1平行四边形的性质 素养目标 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等及对角线互相平分的性质． 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3．理解平行四边形中心对称的特征，并会用中心对称的性质解决有关的面积问题． 4．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算和简单的证明题． 知识梳理 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【特别提醒】 平行四边形的定义有两个要素：(1)是四边形；(2)两组对边分别平行． 作为四边形，平行四边形具有一般四边形的一切性质，如有四条边，四个内角，两条对角线，内角和为360°，外角和为360°等．作为平行四边形，它区别于其他一般四边形的特殊性质为：平行四边形的两组对边分别平行． 平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC 反过来，∵AB//CD，AD//BC,∴四边形ABCD是平行四边形． 2．平行四边形的表示方法 平行四边形用“”表示，如图，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 【注意】 (1)平行四边形的表示一定要按顺时针或逆时针方向依次写出各顶点的字母，不能打乱顺序； (2)“”作为表示平行四边形的符号，不可单独使用它来代替“平行四边形”． 3．平行四边形的性质 性质1：平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等． 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC． 性质2：平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠A+∠D=180° 【特别提醒】 由于平行四边形的基本元素有边和角，因此讨论其性质也应从边和角这两个方面去看． (1)从边看：平行四边形的对边平行且相等； (2)从角看：平行四边形的对角相等、邻角互补． 性质3：平行四边形的对角线互相平分． 几何语言：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD． 【拓展性质】 (1)平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分． (2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积． 4．两条平行线之间的距离 (1)定义:两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 【特别提醒】 ①距离是指垂线段的长度，它是正值． ②当两条平行线确定后，它们之间的距离是一个定值． ③平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置． ④任何两条平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是两条平行线间最短线段的长度． (2)性质 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等． 【拓展性质】 (1)夹在两条平行线间的任何平行线段都相等． (2)等底等高的平行四边形的面积相等． 题型突破 题型1：利用平行四边形的定义判断平行四边形 【典例】如图，在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（　　） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 【练一练】如图所示，▱ABCD中，E，G是AD上的两点，F，H是BC上的两点，且AB∥EF∥GH∥DC．则图中的平行四边形共有　 　个． 50题型2：利用平行四边形边的性质求证线段的关系 【典例】（2022•槐荫区二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的中点，连接AE，CF，求证：AE＝CF． 【练一练】（2022春•盱眙县期中）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，EF与AC相交于点P，求证：PA＝PC． 题型3：利用平行四边形角的性质求证角的关系 【典例】（2022春•东台市期中）如图，▱ABCD中，∠A+∠C＝220°，则∠D的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【练一练】（2022春•广水市期末）在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．110° 题型4：平行线间的距离 【典例】（2022秋•宜都市期中）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法正确的是（　　） A．AB∥PC B．△ABC的面积等于△BCP的面积 C．AC＝BP D．△ABC的周长等于△BCP