上海市格致中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试卷

上海市格致中学2021-2022年高三上12月月考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.集合，，则　　． 2.双曲线的焦点到渐近线的距离等于　　． 3.已知，，则用表示　　． 4.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为　　． 5.若方程的两个根为和，则　　． 6.若函数的反函数为，则函数的零点为　　． 7.设，则　　． 8.今年上海春季高考有25所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有　　 种． 9.如图，在中，为上不同于，的任意一点，点满足．若，则的最小值为　　． 10.已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为　　． 11.已知直线垂直平面，垂足为，在矩形中，，若点在上移动，点在平面上移动，则、两点间的最大距离为　 　． 12.设关于的方程和的实根分别为、和、，若，则实数的取值范围为　　 ． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.“”是“为三角形的三个顶点”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14.若，且，则的取值范围为　　 A．或 B． C．或 D．或 15.给出下列命题： ①如果复数满足，则复数在复平面的对应点的轨迹是椭圆． ②函数的图像关于原点对称. ③若对任意的，恒成立，则数列是等差数列或等比数列． ④存在奇函数和偶函数，使得函数是偶函数； 真命题的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16.设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于点，且为线段的中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.已知在中，角的对边分别为，且． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点． （1）若为线段的中点，求直线和平面所成角的大小． （2）若点在线段上移动，当三棱锥体积最大时，求异面直线与所成角的大小． 19.设函数为实数）． （1）若当时，关于的不等式成立，求的取值范围； （2）设，若存在使不等式成立，求的取值范围． 20.已知曲线上的任意一点到两定点、的距离之和为，直线交曲线于、两点，为坐标原点． （1）求曲线的方程； （2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）若，求面积的取值范围． 21.设数列中前两项给定，若对于每个正整数，均存在正整数（）使得，则称数列为“数列”. （1）若数列为的等比数列，当时，试问：与是否相等，并说明数列是否为“数列”； （2）讨论首项为、公差为的等差数列是否为“数列”，并说明理由； （3）已知数列为“数列”，且 ，记 ,，其中正整数， 对于每个正整数，当正整数分别取1、2、、时的最大值记为、最小值记为. 设，当正整数满足时，比较与的大小，并求出的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市格致中学2021-2022年高三上12月月考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.集合，，则　　． 【解析】集合，， 所以． 2.双曲线的焦点到渐近线的距离等于　　． 【解析】由双曲线的方程得，， 故右焦点的坐标为，一条渐近线方程为 由点到直线的距离公式得所求距离． 3.已知，，则用表示　　． 【解析】因为，，则． 4.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为　　． 【解析】因为高一480人，高二比高三多30人， 设高三人，则，解得，故高二420，高三390人， 若在抽取的样本中有高一学生96人， 则该样本中的高三学生人数为． 5.若方程的两个根为和，则　　． 【解析】由题意得，所以. 6.若函数的反函数为，则函数的零点为　　． 【解析】函数，则， 若函数的反函数为，则，则函数的零点为． 7.设，则　　． 【解析】令，得，令，得， 所以． 8.今年上海春季高考有25所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有　　种． 【解析】第一步把三个学生分成两组，第二步从25所学校中取两个学校， 第三步，把学生分到两个学校中，共有种． 9.如图，在中，为上不同于，的任意一点，点满足．若，则的最小值为　　． 【解析】不妨设，， 所