专题04 多边形内角和定理重难点题型-2022-2023学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题04 多边形内角和定理重难点题型 【题型目录】 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形折叠中的角度问题 题型五 三角形外角的性质 题型六 多边形的内角和问题 题型七 正多边形的内角、外角问题 题型八 多边形内角和、外角和的综合问题 【经典例题一 三角形内角和的证明】 【知识归纳】 1、三角形的内角： ①三角形的三个内角的和等于180°. ②推论：直角三角形的两个锐角互余. 【例1】（2022秋·全国·八年级专题练习）定理：三角形的内角和等于． 已知：的三个内角为，，． 求证：． 证法1 证法2 如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B．证法1用合理的推理证明了该定理 C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D．证法2用严谨的推理证明了该定理 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可． 【详解】三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明， 故A、B都不符合题意； 证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状， 故C不符合题意；D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键． 【变式训练】 【变式1】（2021春·广东深圳·七年级校考期末）如图，将ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，过点B作BD∥AC交A′C于点D，若∠1＝30°，∠2＝140°，则∠A的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质得到∠BCD＝∠CBD，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：设∠A′BD＝α， ∵将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处， ∴∠ABC＝∠A′BC＝30°，∠ACB＝∠A′CB，∠A＝∠A′， ∵AC∥BD， ∴∠ACB＝∠CBD， ∴∠BCD＝∠CBD， ∵∠2＝140°， ∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣140°）＝20°， ∵∠CBA′＝30°， ∴∠A′BD＝10°， ∴∠A′＝∠2﹣∠A′BD＝140°﹣10°＝130°， ∴∠A＝∠A′＝130°， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，已知交于点，且，则_____． 【答案】64° 【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案； 【详解】解：：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB ∴∠A+∠D=∠C+∠B， ∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°； 故答案为：64°； 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【变式3】（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是”的结论． 小明受到实验方法1的启发，形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了． (1)填空：小明的证明过程如下： 已知：如图，三角形． 求证：． 证明：延长，过点C作． ∴（两直线平行，内错角相等）， （____________）． ∵（____________）， ∴． (2)请你参考小明解决问题的思路与方法，画出实验2几何图形，并写出利用实验2证明该结论的过程． (3)在实验过程中，小超不小心把三个角都撕下来，但他发现，除了可以利用原三角形三个顶点外，还可以在原三角形所在的平面内，将撕下来三个角的顶点重合在平面内任意一点，使撕下来角的两边分别平行（或重合）于原三角形的两边，也可以证明三角形内角和是．请你参考小超解决问题的思路与方法，画出几何图形，并写出一种证明该结论的过程． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；平角定义 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由证明过程，结合具体的图形可得答案； （2）过点A作DEBC，利用平行线的性质以及平角的定义可得结论； （3）在BC边上任取一点D，分别作DEAB，DFAC，利用平行线的性质和平角的定义可得答案． 【详解】（1）证明：延长BC，过点C作CMBA． ∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相