17.2 勾股定理的逆定理-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(人教版)

八年级下册数学《第十七章 勾股定理》 17.2 勾股定理的逆定理 知识点一 互逆命题与互逆定理 ●互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. ●互逆定理： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理， 称这两个定理互为逆定理. ◆1、对互逆命题的理解： ①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反； ②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系. ③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式. ◆2、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理. 知识点二 勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ◆1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①先确定最长边，算出最长边的平方； ②计算另两边的平方和；． ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形. ◆2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 知识点三 勾股数 ●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． ◆1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ◆2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ◆3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… ◆4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. 题型一 逆命题与逆定理 【例题1】下列定理中，逆命题是假命题的是（　　） A．在一个三角形中，等角对等边 B．全等三角形对应角相等 C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 D．等腰三角形两个底角相等 【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【解答】解：A、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，正确，是真命题； B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题； C、逆命题为：等边三角形是有一个角是60度的等腰三角形，正确，是真命题； D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题； 故选：B． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题，难度不大． 解题技巧提炼 1、写出一个命题的逆命题的关键是分清原命题的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，判断一个命题是真命题要证明，判断一个命题是假命题只有举一个反例即可. 2、判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果不正确，举一个反例即可，如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理. 【变式1-1】（2022秋•长春期末）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是　 　． 【分析】把原命题的题设与结论交换得到逆命题． 【解答】解：命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上， 故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够区分原命题的题设和结论，难度不大． 【变式1-2】下列三个定理中，存在逆定理的有（　　）个． ①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行 A．0 B．1 C．2 D．3