1.4 解直角三角形 测试题2022-2023学年山东省菏泽牡丹区黄堽中学北师大版九年级数学下册

北师大九下数学第一章1.4测试题 一、选择题(本大题共5小题,共15.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项) 1. 图是第七届国际数学教育大会会徽,在其主体图案中选两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图所示的四边形若,,则的值为( ) A. B. C. D. 2. 如图,中,,,点是边的中点,以为底边在其右侧作等腰三角形,使,连接,则的值为( ) A. B. C. D. 3. 如图,个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点,已知菱形的一个角为,,,都在格点上,则的值是( ) A. B. C. D. 4. 如图,在边长为的正方形中,点是边上的一点,点是点关于直线对称的点,连接、,若,则的长是( ) A. B. C. D. 5. 在中,若,,则( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共2小题,共6.0分) 6. 如图,在矩形中,点是边上一点,于点若,,则的长为 . 7. 在直角中,,,的角平分线交于点,且,斜边的值是_. 三、解答题(本大题共3小题,共24.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 8. 本小题分 如图,在中,,点是边的中点,连接,分别过点,作,交于点,连接,交于点. 求证:四边形是矩形; 若,,求的长. 9. 本小题分 如图,在中,,为上一点,,,,. 求的长; 求的值. 10. 本小题分 如图,在正方形中,点在边上不与点,重合,连接,作于点,于点,连接,. 求证:; 若,设,,求的值. 答案和解析 1.【答案】 【解析】解:在中,, . 在中,, . 2.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查解直角三角形,等腰三角形的判定和性质,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是证明,属于中考常考题型设交于,过点作于首先证明,再证明,可得结论. 【解答】 解:设交于点,过点作于点,如图所示. 在中,点是边的中点, . . , . . . ,, . . . , . , B. B. , . . 3.【答案】 【解析】解:如图,连接,, 设菱形的边长为,由题意得,,,, , , , 、、共线, 在中,. 故选D. 如图,连接、,先证明,、、共线,再根据,求出、即可解决问题. 本题考查菱形的性质,三角函数、特殊三角形边角关系等知识,解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 4.【答案】 【解析】解:过点作于点,并延长交于点, , , , , , 设,则, , 点是点关于直线对称的点, ,, , ≌, , , , 舍,, ,, , , , ,即, , . 故选:. 过点作于点,并延长交于点,设,则,则,由对称的性质得出,,证明≌,得,由勾股定理求出,由锐角三角函数的定义可得出答案. 本题考查了正方形的性质,勾股定理,锐角三角函数以及对称的性质,熟练掌握对称的性质是解题的关键. 5.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了锐角三角函数的定义及应用,勾股定理,在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边. 由已知条件,根据三角函数的定义,设,则,根据勾股定理求出,再根据三角函数的定义就可以求出三角函数值. 【解答】 解:在中,,, 设,则, 故, , 故选D. 6.【答案】 【解析】 【分析】 根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论. 本题考查了矩形的性质,解直角三角形,正确的识别图形是解题的关键. 【解答】 解:在矩形中,, , ,, , , , , , 故答案为:. 7.【答案】 【解析】解:如图,过点作,,垂足分别为、, ,的角平分线交于点,且, , ,,, , 即, 又, , 在中,, 在中,, , , 即, 故答案为:. 由直角的角平分线交于点,且,根据直角三角形的性质可求出,再根据锐角三角函数和勾股定理得到,求出的值即可. 本题考查解直角三角形,掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键. 8.【答案】证明:,, 四边形是平行四边形, ,点是边的中点, 于点, 即, 四边形是矩形; 解:过点作于. 则. ,, , 在矩形中,对角线,交于点, , , 在中,, 即, , . 在中,, , . 在中,, . 【解析】本题考查了矩形的判定与性质,勾股定理,正弦的定义等知识,熟记矩形的判定与性质是解题的关键. 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形,根据等腰三角形的性质得,从而根据矩形的判定定理即可得到结论; 过点作于,根据矩形的性质和等腰三角形的定义可得出的长,进而得出的长,在直角三角形中,根据正弦定义可得出的长,再根据勾股定理得出的长,进而得出的长,最后在直角三角形中,由勾股定理即可得出结果. 9.【答案】解:设, , , , , 解得,舍去,或, ,, , , ; 过点作于点, ,可设,则, , , 解