4.4数学归纳法的原理课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列 环节一 数学归纳法的原理 高中数学人教A版选择性必修第二册单元教学设计 引入新课 证明某类命题 多米诺骨牌的全部倒下 数学归纳法的原理 数学归纳法的应用 类比思想 数学抽象 逻辑推理 数学运算 研究思路 逻辑推理 2 答案： ， ， . 问题导入 问题1 已知数列 满足 ， ，计算 ， 猜想其通项公式，并证明你的猜想. 猜想通项公式为： （n∈N*） （n∈N*） 3 已知数列 满足 ， ，计算 ， 猜想其通项公式，并证明你的猜想. 问题导入 问题1 答案：仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想不一定正确. 如：17世纪，法国大数学家费马发现，对于 ，分别验证n=1，2，3，4，这个数均为质数，从而猜测：对于任意的自然数，这个数都是质数．半个世纪后欧拉举出了反例：当n=5时，该数可拆成两个数的乘积． 追问1 仅通过前几项能得出所有的结果吗？这样得出的猜想一定正确吗？ 猜想通项公式为： （n∈N*） （n∈N*） 4 问题导入 问题1 已知数列 满足 ， ，计算 ， 猜想其通项公式，并证明你的猜想. 答案：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证. 但当n较大时，验证起来会很麻烦. 尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明. 因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立. 追问2 该如何证明这个猜想呢？ 猜想通项公式为： （n∈N*） （n∈N*） 5 类比迁移 问题2 将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？ 6 类比迁移 问题2 将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？ 追问1 如果碰倒第一块骨牌，是不是其余的骨牌都将被依次推倒呢？ 答案：若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下. 因此要让相邻两个骨牌之间保持合适的间距，这个间距要能保证任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下. 7 类比迁移 问题2 将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？ 追问2 如果保证了前一块一定能把后一块推倒，那么它们倒了吗？ 答案：如果第一块骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不会倒. 所以第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础，这个条件必不可少. 可归纳得出使所有骨牌都倒下的条件有两个： （1）第一块骨牌已倒； （2）前一块倒下一定能导致后一块倒下. 8 类比迁移 问题2 将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？ 可归纳得出使所有骨牌都倒下的条件有两个： （1）第一块骨牌已倒； （2）前一块倒下一定能导致后一块倒下. 追问3 条件（1）与条件（2）有何联系？ 9 类比迁移 问题2 将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？ 可归纳得出使所有骨牌都倒下的条件有两个： （1）第k块骨牌已倒； （2）从第k块开始，前一块倒下一定能导致后一块倒下. 答案：条件（2）中k的最小值就是条件（1）中骨牌倒下的初始值. 追问3 条件（1）与条件（2）有何联系？ 10 类比迁移 问题2 将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？ 追问4 多米诺骨牌游戏与证明猜想“数列 的通项公式是 ”有相似性吗？ 由 及递推关系 由 及递推关系 …… 递推关系： 命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立. 如果n=k时猜想成立， 那么 即当n=k+1时，猜想也成立. 即 答案： （n∈N*） 11 类比迁移 问题2 将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？ 追问4 多米诺骨牌游戏与证明猜想“数列 的通项公式是 ”有相似性吗？ 答案： 骨牌原理 猜想的证明步骤 （1）第一块骨牌已经倒下 （1）证明n=1时，猜想正确 （2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”这句话是真实的 （2）证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题 根据（1）（2），所有骨牌