第06课 《第6章 空间向量与立体几何》章末测试（提高）-2022-2023学年高二数学课后培优分级练（苏教版2019选择性必修第二册）

《空间向量》章末测试（提高） 一、单选题 1．如图，在正方体中，异面直线与所成的角与直线与平面所成的角分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若，且与的夹角的余弦值为，则(　　) A． B． C． D． 3．如图，在四面体中，E是的中点，，设，则（    ） A． B． C． D． 4．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 6．二面角中，，，，，且B、C为垂足，，，，，则二面角大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在底面为正三角形的棱台中，记锐二面角的大小为，锐二面角的大小为，锐二面角的大小为，若，则　　 A． B． C． D． 8．如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题： 异面直线与间的距离为定值； 三棱锥的体积为定值； 异面直线与直线所成的角为定值； 二面角的大小为定值． 其中真命题有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 9．在正方体中，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．二面角的正切值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍 10．下列条件中，使点与三点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，三棱锥中，为等边三角形，平面，，.点D在线段上，且，点E为线段SB的中点，以线段BC的中点为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴，过点作SA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A．直线CE的一个方向向量为 B．点D到直线CE的距离为 C．平面ACE的一个法向量为 D．点D到平面ACE的距离为1 12．中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（    ） A．正四棱锥的底面边长为24m B．正四棱锥的高为 C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的侧面积为 三、填空题 13．如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________. 14．如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为____________． 15．如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱，，于点D，E，F，若，，，则_______. 16．已知三棱锥的各棱长均相等，点E在棱上，且，动点Q在棱上，设直线与平面所成角为，则的最大值是_______． 四、解答题 17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，． (1)求，为邻边的平行四边形的面积S； (2)求，夹角的余弦值． 19．已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标是，3，，求向量在基底下的坐标． 20．如图，在三棱锥中，底面，．点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)点在棱上，直线与所成角余弦值为，求线段长． 21．如图，在直三棱柱中，，． (1)求证：平面⊥平面； (2)若AC与平面所成的角为，点E为线段的中点，求平面AEB与平面CEB夹角的大小． 22．如图，以长方体的顶点为坐标原点，是的中点，是的中点．过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，已知． (1)分别写出点、点和的坐标； (2)求到平面的距离； (3)若点是棱上一个动点，是否存在点使得为一个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 《空间向量》章末测试（提高） 一、单选题 1．如图，在正方体中，异面直线与所成的角与直线与平面所成的角分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】如图所示： 设正方体的棱长为1， 则， ，， 设异面直线与所成的角为， 所以， 因为， 所以， 设平面的一个法向量为：， 则，即， 令，得， 设直线与平面所成的角为， 所以， 因为， 所以， 故选：C