18.2矩形（讲+练）-2022-2023学年八年级数学下册同步知识+题型培优讲义（人教版）

18.2矩形 1. 理解矩形的定义、性质、判定定理． 2、能运用矩形的相关定理完成证明或计算． 一、矩形定义与性质 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，记作：矩形ABCD ． 矩形与平行四边形的关系：矩形是特殊的平行四边形 2. 矩形的性质： ① 矩形作为特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质： 对边平行且相等 ；对角相等，邻角互补 ；对角线互相平分 ② 性质1：矩形的四个角都是直角 几何语言： 四边形ABCD是矩形 C=D= ③ 性质2：矩形对角线相等 几何语言： 四边形ABCD是矩形 二、 矩形的判定 判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（定义） 几何语言： 四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是矩形 判定2：有三个角是直角的四边形是矩形 符号语言： 在四边形ABCD 中， ∴四边形ABCD是矩形 判定3：对角线相等的平行四边形是矩形． 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD ， ∴四边形ABCD是矩形． 题型一 矩形的性质运用 【例题1-1】如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若平分交于点E，且，连接，则（    ）  A． B． C． D． 【例题1-2】如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（　　） A． B．8 C． D． 【例题1-3】如图，矩形的对角线相交于点O，点E是的中点，若，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题1-4】如图，某小区要在一块形状为矩形的空地上建造一个如图所示的四边形花园，点E，F，G，H分别为边的中点，若，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【例题1-5】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题1-6】如图，在中，，是的中线，，则的长等于（    ） A．5 B．4 C．8 D．6 【变式1-1】有一个角是___________的___________叫做矩形． 矩形的___________个角都是直角． 矩形的对角线___________． 矩形既是___________对称图形，又是___________对称图形，它至少有___________条对称轴． 有___________个角是直角的四边形是矩形． 对角线相等的___________是矩形． 【变式1-2】如图，将长方形纸片沿BD所在直线折叠，得到，与交于点E，若，则的度数为_________． 【变式1-3】在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是____________度． 【变式1-4】如图，矩形中，点、分别是、的中点，连接和，分别取、的中点、，连接、、．若，则图中阴影部分的面积为___________ ． 【同步测试1-1】如图，矩形沿折叠，使顶点B和点D重合．若，则的长为______． 【同步测试1-2】如图是矩形，，求这个矩形的周长和对角线的长． 【同步测试1-3】明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）．将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（）的长度． 【同步测试1-4】如图，四边形是矩形，平分，交边于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交边于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：． 证明：如图∵四边形是矩形 ∴①__________，， ∵分别平分和， ∴②_________，∴ 在与中 ∴④__________，∴． 【同步测试1-5】已知：如图，在四边形中，，，点是边的中点，．求证： (1)； (2)． 题型二 矩形判定 【例题2-1】1．下列命题是真命题的是（    ） A．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．两直线平行，同位角互补 D．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 【例题2-2】证明：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，． 求证：四边形是矩形．嘉琪的证明过程如下： 证明：∵， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形（①）． ∵， ∴四边形是矩形（②）． 在证明过程中，依据①、②分别表示（    ） 在证明过程中，依据①、②分别表示（    ） A．①表示两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②表示对角线相等的平行四边形是矩形 B．①表示两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②表示有一个角是直角的平行四边形