5.2.1排列与排列数 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§2 排 列 第一课时 高二数学备课组 赣州市第十五中学 1 新知学习 问题导入 问题1 3名同学排成一行照相,共有多少种排法? 分析 设3名同学分别为A,B,C.将3名同学排成一行,可以看作将字母A,B,C放入如图(1)的方格中. 第1步:第一个位置可以从A,B,C三人中任选1人,有3种方法; 第2步:第二个位置可以从除了已经排在第一个位置的人之外的2个人中任选1人,有2种方法,即第一个位置的每一种方法都对应2种方法; 第3步:第三个位置只能是除了已经排在第一个位置和第二个位置的2个人之外剩下的1人,有1种方法,即第一个位置和第二个位置确定的每一种方法都对应1种方法,如图(2). 因此,根据分步乘法计数原理,3名同学排成一行照相,共有N=3×2×1=6种排法. (1) (2) 赣州市第十五中学 问题2 北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航,请列举出所有机票的情况,并指出共有多少种机票. 分析 北京、广州、南京、武汉4个城市间有多少种机票,是指起点和终点不同的机票共有多少种. 第1步:确定可以作为起点的城市,有4种方法; 第2步:作为终点的城市可以从起点城市之外的3个城市中任选1个,有3种方法.如图. 因此,根据分步乘法计数原理,北京、广州、南京、武汉4个城市间,共有4×3=12种机票. 赣州市第十五中学 问题3 从4面不同颜色(红、黄、蓝、绿)的旗子中,选出3面排成一排作为一种信号,共能组成多少种信号? 分析 从4面不同颜色(红、黄、蓝、绿)的旗子中,选出3面排成一排作为信号,相当于从4面 不同颜色(红、黄、蓝、绿)的旗子中取出3面旗子放入如图(1)的3个方格中. 第1步:第一个位置可以从4面不同颜色的旗子中任选1面,有4种方法; 第2步:第二个位置可以从除了确定在第一个位置的那面旗子之外的3面中任选1面,有3种方法,即第一个位置的每一种方法都对应3种方法; 第3步:第三个位置只能从除了确定在第一个位置和第二个位置的2面之外剩下的2面中任选1面,有2种方法,即第一个位置和第二个位置确定的每一种方法都对应2种方法,如图(2).因此,根据分步乘法计数原理,从4面不同颜色(红、黄、蓝、绿)的旗子中,选出3面排成一排作为信号,共有4×3×2=24种排法.每一种排法可以对应一种信号,故能组成24种信号. (1) (2) 赣州市第十五中学 排列 1.一般地,从个不同元素中取出(,且)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从个不同元素中取出个元素的一个排列. 思考1:如何判断一个具体问题是否为排列问题? (1)首先要保证元素无重复性,即从n个不同元素中,取出m个不同的元素,否则不是排列问题. (2)要保证元素的有序性,即安排这m个元素时是有序的,有序就是排列,无序则不是排列.而检验它是否有序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化是有序,无变化就是无序. 赣州市第十五中学 即时训练 判断下列问题是否是排列问题: (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成平面直角坐标系内的点的坐标; (2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会; (3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来的不同的出入方式. 解 (1)由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标,哪一个数作为纵坐标的顺序有关,所以这是排列问题. (2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题. (3)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题. 赣州市第十五中学 排列数及排列数公式 我们把从个不同元素中取出(,且∈N+)个元素的所有不同排列的个数,叫作从个不同元素中取出个元素的排列数,记作. 我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题. 从个不同元素中取出(,且∈N+)个元素的排列共有种,所以=. 上述这个公式叫作排列数公式. 当时,=,记作,读作:的阶乘. 规定:=1,0!=1. 赣州市第十五中学 自主学习 思考2:排列与排列数有何不同? 赣州市第十五中学 跟踪训练 四个人A,B,C,D坐成一排照相有多少种坐法?将它们列举出来. 解 先安排A有4种坐法,安排B有3种坐法,安排C有2种坐法,安排D有1种坐法,由分步乘法计数原理,有4×3×2×1=24种坐法. 画出树形图如图. 由树形图可知,所有坐法为ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA. 赣州市第十五中学 二、排列数公式及应用 例2 (1)计算;(2)解方程: 解 (1)===1. (2)由3A3=2A2+1+6A2, 得3, 所以, 即.解得=5,=(舍去). 所以=5.