§2成对数据的线性相关性课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§1 　 第七章 案例统计 §2成对数据的线性相关性 2.1 相关系数 2.2成对数据的线性相关性分析    赣州市第十五中学 给定两个随机变量(X,Y)的7组成对数据：(1,0),（,）,（0,1）,（-,）, (-1,0),(-,-),(0,-1),利用最小二乘法，可以得到Y关于X的线性回归方程为Y=0. 143X+0. 102.这时,X和Y是否具有线性关系呢？ 情景导入 赣州市第十五中学 2 2 赣州市第十五中学 3 为了解决这个问题，我们引入（线性）相关系数的概念，通过计算两个随机变量间的（线性）相关系数，来判断它们之间线性相关程度的大小. 给定随机变量X和Y,由本章第1.2节可知，由3对数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)得到的Y关于X的线性回归方程为Y=+X. 由=-可知，(,)一定满足线性回归方程，从而有=+ ① 若X和Y的线性相关性好,则yi和+(i=l,2,3）的差应该不大，最理 想的状况应该是y1=+x1,y2=+x2,y3=+x3, ② 赣州市第十五中学 由①②式消去得：y1-=(x1-),y2-=(x2-),y3-=(x3-) ③. 记向量u= (x1-,x2-,x3-),v=(y1-,y2-,y3-)，则③式可记为v=u. 这表明，线性回归方程最理想的状况是向量u,v共线（向量u,v的夹角为0或π）.因此, 可以用向量u,v夹角的大小来刻画X和Y线性相关的程度. 记r=cos〈 u,v 〉== 显然|r|≤l.|r|值越接近1,说明X和Y的线性相关性越强；|r|值越接近0,说明X和Y的线性相关性越弱. 赣州市第十五中学 相关系数 一般地，设随机变量X,Y的n组观测值分别为(x1,y1),(x2,y2),…，(xn,yn),记r=cos〈 u,v 〉= == 称r为随机变量X和Y的样本（线性）相关系数. 为了计算的方便，我们再给出如下式子： 赣州市第十五中学 显然，样本（线性）相关系数r的取值范围为[―1,1]. | r |值越接近1,随机变量之间的线性相关程度越强；| r |值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱. 当r>0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量正相关； 当r<0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量负相关； 当r=0时,此时称两个随机变量线性不相关. 赣州市第十五中学   判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个变量的相关系数，则两个变量正相关．(　　) (2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．(　　) (3)若两个变量负相关，那么其回归直线的斜率为负．(　　) 【答案】　(1)√　(2)×　(3)√ 及时巩固 赣州市第十五中学 1.判断变量间的相关关系 例1 对于变量有观测数据（）（），得散点图①，对于变量有观测数据（）（），得散点图②.由这两个散点图可以判断 （　　） A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关 解析：由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关. 答案：C 赣州市第十五中学 例2 两个变量与其线性相关系数r有下列说法： ①若则增大时，也大致增大；②若则增大时也大致增大； ③若或则与的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个点都在一条直线上.其中正确的有 （　　） A.①②　　 B.②③ C.①③ D.①②③ 解析：根据两个变量的相关性与相关系数的意义可知，①③正确，②错误. 答案：C 赣州市第十五中学 反思感悟 判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用样本相关系数来判断：|r|越接近1，对应的散点越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好. 注意：样本相关系数r只能描述两个变量之间的相关方向及密切程度，不能揭示二者之间的本质联系. 赣州市第十五中学 例2 计算表7-1中随机变量之间的样本相关系数度（结果保留到小数点后的第9位），并谈谈通过计算发现了什么. 解（1）根据表7-1,得到表7-4. 赣州市第十五中学 由此可得=243250，=23968，=76214，=,=. 因此， =≈0.939853007. 从散点图7-8可以看出，身高和体重具有很强 的正相关性.这与样本相关系数r的计 算结果 一致. 赣州市第十五中学 例3 计算表7-5中两个