6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例（一）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

环节五 余弦定理、正弦定理应用举例(一) 平面向量的应用 高中数学人教A版必修第二册单元教学设计 复习引入 问题1:前面两节课我们定量的探究了三角形边和角的关系,得到了余弦定理和正弦定理,你还记得吗? 答案:(1)余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即 (2)正弦定理(law of sines)在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 . 推论: 复习引入 问题1:前面两节课我们定量的探究了三角形边和角的关系,得到了余弦定理和正弦定理,你还记得吗? 追问1:正、余弦定理和推论可以解决哪几类解三角形的问题? 答案:余弦定理解决:(1)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(2)已知三边,求三个角. 答案:正弦定理解决:(1)已知两角和任一边,求其余的两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求其余的边和角. 技能应用 例1:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知c=4, . 若△ABC的面积等于 ,求a,b. 追问1:三角形的面积是底×高的一半,能不能把高转化为边与角?试着把面积公式转化一下. 答案:可以用边和角表示高,则三角形面积公式为 . 技能应用 例1:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知c=4, . 若△ABC的面积等于 ,求a,b. 答案:∵c=4, .△ABC的面积 .∴ab=16. 由余弦定理: ,∴ ,解得:a=b=4. 例2:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,在以下三个条件下分别求C: 技能应用 追问1:根据三角形三边关系、正余弦定理及其推论,试着完成. ① ; ② ; ③ . 选①: ,∵由正弦定理得 ,∴ ,即 ,∴ ,∵ ,∴ . 技能应用 例2:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,在以下三个条件下分别求C: 选②:由正弦定理得 , ,∴ , , ,∵ ,∴ ,∴ ,∴ . 追问1:根据三角形三边关系、正余弦定理及其推论,试着完成. ① ; ② ; ③ . 技能应用 例2:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,在以下三个条件下分别求C: 选③: , , ,∵ ,∴ . 追问1:根据三角形三边关系、正余弦定理及其推论,试着完成. ① ; ② ; ③ . 技能应用 例3:在△ABC中, , ,点D在线段AC上, 且 , .(1)求BC;(2)求△DBC的面积. 追问1:观察题目,三角形中还隐藏着哪些角与角的关系?试着解一解. 答案:∠ADB与∠BDC互补. B A D C 技能应用 解(1): ,在△ABC中,设BC=a,AC=3b,由余弦定理可得: ①,在△ABD和△DBC中,由余弦定理可得: , .因为 ,所以有 , 所以 ②,由①②可得a=3,b=1,即BC=3. 例3:在△ABC中, , ,点D在线段AC上, 且 , .(1)求BC;(2)求△DBC的面积. B A D C 技能应用 例3:在△ABC中, , ,点D在线段AC上, 且 , .(1)求BC;(2)求△DBC的面积. B A D C 解(2):由(1)知 ,则 ,又AB=2, BC=3,则△ABC的面积为 ,又因为 AD=2DC,所以△DBC的面积为 . 技能应用 例4:在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边, . (1)求角C; (2)若 ,D为BC中点,在下列两个条件中任选一个,求AD的长度. 条件①:△ABC的面积S=4且B>A;条件②: . 技能应用 例4:在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边, . (1)求角C; 解(1):在△ABC中,由余弦定理知: ,所以 ,所以 . 又由正弦定理知: ,得 ,所以 ,即: . 所以 ,因为 ,所以 ,所以 , 又因为 ,所以 . 技能应用 例4:在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边, . (2)若 ,D为BC中点,在下列两个条件中任选一个,求AD的长度. 条件①:△ABC的面积S=4且B>A;条件②: . 解(2):若选择条件①:因为 ,所以 , 由余弦定理知: ,所以 ,由 ,在△ACD中 ,所以 . ,解得: 或 ,因为B>A,所以b>a,所以 ,即 14 技能应用 例4:在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边, . (2)若 ,D为BC中点,在下列两个条件中任选一个,求AD的长度. 条件①:△ABC的面积S=4且B>A;条件②: . 在△ABD中,由余弦定理知: ,解得 . 解(2):若选择条件②:因为 ,所以 ,由正弦定理知: ,又因为 ,所以 , 15 课堂小结 问题3:回顾本节课所学的知识,思考: (1)在解三角形的题目中,除了运